现代工程图学习题集答案第5章.pptVIP

由塞尔维斯特准则有 关于定理的几点说明： （1）该定理对非线性系统的一个平衡状态只给出了稳定的充分条件，若 不是负定的，则不能给出任何结论。 （2）使 为负定的必要条件是，F(x)主对角线上的所有元素不为零，即： （3）线性系统是非线性系统的特例，该定理也适应于线性定常系统。 若A为非奇异，则当 为负定时，系统的平衡状态稳定。 (4)克拉索夫斯基方法主要适用于针对可线性化表示的函数，即 （a）非线性特性可用解析表达式表示的单值函数； （b）非线性函数 对 是可微的； （c） 变量梯度法 1）梯度的概念 一个多元函数 v(x1,x2,…,xn) 存在对 n 个变量 xi 的偏导数 。 在控制问题中，偏导数是指n维空间中的运动质点运动到达某一位置时沿各个坐标方向的变化率。 把反映运动质点沿各个坐标方向的变化率的各偏导数作为分量，构成一个n维向量，称该向量为函数v(x1,x2,…,xn) 的梯度。习惯上用符号“?V”表示。 2）向量的曲线积分 变力做功问题：变力F沿着给定路径L所做的功可用曲线积分来计算。 积分的结果与积分路径的选择无关。 3）旋度方程 如果一个向量的曲线积分与积分路径选择无关，则向量的旋度必为零。 由向量的旋度为零可得出由 所组成的雅可比矩阵必为对称矩阵。 4）变量梯度法求李氏函数 式中 为 维状态向量， 是变量 , ,… ,和t 的 n 维向量函数。 设非线性系统方程为 设系统的平衡状态是状态空间的原点，即xe=0,若要寻找的李氏函数为 v(x) = v(x1,x2,…,xn) 李氏函数的求取变成求一个合适的梯度向量?V。求取?V利用了以下两个条件： 1）由于?V是一个向量，则n维广义旋度为0，故?V必须满足以下旋度方程： 2）由?V计算出来的v (x)和 必须满足李氏函数稳定性的要求。 总结上述分析，如果非线性系统的平衡状态xe是渐近稳定，变量梯度法确定李氏函数的步骤概括如下： 1）假定?V是一个任意列向量，即： 式中：aij(i,j=1,2,…,n)为待定系数,可以是常数，也可以是时间 t 的函数或状态变量的函数，通常 aij 选为常数或 t 的函数。 2）由?V写出 ，即： 3）限定 是负定的或至少是负半定的，并用n(n-1)/2个旋度方程 确定待定系数aij 。 4）将得出的 重新校验负定性，因为旋度方程确定系数可能会使它改变。 5）由?V 的线积分求出 ，积分路径按式（4-44）给出。 6）确定在平衡点处的渐近稳定性范围。 注意：用这种方法不能构造出一个合适的李氏函数时，并不意味着平衡状态是不稳定的。 例： 设非线性系统方程为 利用变量梯度法构造李氏函数，并分析系统的稳定性。 解：（1）假定v (x)的梯度为 （2）写出 的形式 （4）求出李氏函数 满足旋度方程条件，于是有 可见，李氏函数是正定的。 式中P为正定Hermite矩阵（如果 是实向量，且A是实矩阵，则P可取为正定的实对称矩阵）。 对于式(4.3)的系统，选取如下二次型Lyapunov函数，即 4.4 线性定常系统的Lyapunov稳定性分析 假设A为非奇异矩阵，则有唯一的平衡状态 ，其平衡状态的稳定性很容易通Lyapunov第二法进行研究。 考虑如下线性定常自治系统 (4.3) 式中 。 沿任一轨迹的时间导数为 为正定矩阵。 式中 由于 取为正定，对于渐近稳定性， 要求为负定的，因此必须有： 因此，对于式）的系统，其渐近稳定的充分条件是Q正定。 这可归纳为如下定理。 为了判断n?n维矩阵的正定性，可采用赛尔维斯特准则，即矩阵为正定的充要条件是矩阵的所有主子行列式均为正值。 然后检查由 在判别时 ，方便的方法，不是先指定一个正定矩阵P，然后检查Q是否也是正定的，而是先指定一个正定的矩阵Q， 确定的P是否也是正定的。 定理4.9 线性定常系统 在平衡点 处渐近稳定的充要条件是： 特别地，当 时，可取 (正半定)。 此时，Lyapunov函数为 这里P、Q均为Hermite矩阵或实对称矩阵。 对于 ，