【选修】8.3.2独立性检验(第二版).pptx

【选择性必修第三册】8.3.2 独立性检验湛江市第五中学 钟景荣学习目标1.通过实例, 理解2×2列联表的统计意义.2.通过实例, 了解2×2列联表与独立性检验及其应用.重点： 理解独立性检验的基本思想及实施步骤.难点：χ2的含义、独立性检验及其应用.核心素养：数学分析、数学运算、数学推理.复习回顾分类变量—在一定范围内具有两种现象或性质的随机变量叫做分类变量.一、分类变量的关联性1. 应用比率判断关联性2. 应用条件概率判断关联性二、2×2列联表III合计类1类2类Aaba+b类Bcdc+d合计a+cb+da+b+c+d 将两个分类汇总统计, 并做成表格加以保存的数据统计表称为2×2列联表. 每个分类变量只取两个值.三、统计案例常用方法 利用随机抽样获得一定数量的样本数据, 再利用随机事件发生的频率稳定于概率的原理对问题答案作出推断. 前面我们通过2×2列联表整理成对分类变量的样本观测数据, 并根据随机事件频率的稳定性推断两个分类变量之间是否有关联. 对于随机样本而言, 因为频率具有随机性, 频率与概率之间存在误差, 所以我们的推断可能会犯错误, 而且在样本容量较小时, 犯错误的可能性会较大. 因此, 需要找到一种更为合理的推断方法, 同时也希望能对出现错误推断的概率有一定的控制或估算.一、独立性检验的零假设H0 考虑以Ω为样本的空间的古典概型. 设X和Y为定义在Ω上, 取值于{0, 1}的成对分类变量. 若要判断事件{X=1}和{Y=1}之间是否有关联. 注意到{X=0}和{X=1}, {Y=0}和{Y=1}都是互为对立事件, 只需要判断下面的假定关系?H0: P(Y=1|X=0) = P(Y=1|X=1)H0: P(Y=1|X=0) = P(Y=1|X=1)通常称H0为零假设或原假设. 从{X=0}中随机选取一个样本点, 该样本点属于{X=0, Y=1}的概率;P(Y=1|X=0)从{X=1}中随机选取一个样本点, 该样本点属于{X=1, Y=1}的概率.P(Y=1|X=1)以下性质彼此等价：{X=0}与{Y=0}独立;{X=0}与{Y=1}独立;{X=1}与{Y=1}独立.{X=1}与{Y=0}独立; 如果以上性质成立, 则称分类变量X和Y独立. 即是下面四个等式也成立：②P{X=0,Y=1}=P{X=0}P{Y=1};P{X=0,Y=0}=P{X=0}P{Y=0};P{X=1,Y=1}=P{X=1}P{Y=1};P{X=1,Y=0}=P{X=1}P{Y=0};H0：分类变量X和Y独立. 零假设H0改述为：二、独立性检验的统计量χ2(卡方)III合计类1类2类Aaba+b类Bcdc+d合计a+cb+da+b+c+dχ2=……(1)分子是叉乘之差的平方乘以n, 分母是四个合计值的乘积. 随机变量χ2取值的大小是判断零假设H0是否成立的依据, 当它比较大时推断H0不成立, 否则认为H0成立. 那么χ2大到什么程度, 可以推断H0不成立呢？ 根据小概率事件在一次试验中不大可能发生的规律, 上面的想法可以通过确定一个与H0相矛盾的小概率事件来实现. 在假定H0的条件下, 对于有放回简单随机抽样, 当样本容量n充分大时, 统计学家得到了χ2的近似分布. 忽略χ2的实际分布与该近似分布的误差后, 对于任何小概率值α, 可以找到相应的正实数xα, 使得下面关系式成立：④P(χ2 ≥ xα)= α. xα为α的临界值, 这个临界值可作为判断χ2大小的标准. 概率值α越小, 临界值xα越大. 当总体很大时, 抽样有、无放回对χ2的分布影响较小. 因此, 在应用中往往不严格要求抽样必须是有放回的. 由④式可知, 只要把概率值α取得充分小, 在假设H0成立的情况下, 事件{χ2 ≥ xα}是不大可能发生的. 根据这个规律, 如果该事件发生, 我们就可以推断H0不成立. 不过这个推断有可能犯错误, 但犯错误的概率不会超过α.H0成立的支持率H0不成立的犯错率基于小概率值α的检验规则是：可推断H0不成立, 当χ2 ≥ xα时, 即认为X和Y不独立, 该推断犯错误的概率不超过α.当χ2 xα时, 无充分证据推断H0不成立, 可认为X和Y独立. 利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验, 读作 “卡方独立性检验”, 简单称独立性检验.χ2独立性检验中的小概率值和相应的临界值：α0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001xα0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828例如, 对于小概率值α=0.05, 我们有如下的具体检验规则：(1) 当χ2 ≥ x0.05=3.841时, 我们推断H0不成立, 即认为X和Y不独立,