【选修】2.1.1倾斜角与斜率(第二版).pptx

【选择性必修第一册】2.1.1 倾斜角和斜率作者：湛江市第五中学钟景荣湛江市第五中学学习目标1. 在平面直角坐标系中, 结合具体图形, 探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念, 经历用代数方法刻画直线斜率的过程.3.掌握过两点的直线斜率的计算公式.重点：倾斜角和斜率的概念, 过两点的直线斜率的计算公式.难点：直线的斜率和它的倾斜角之间的关系.核心素养：数学抽象、直观想象、数学运算.前言 点是构成直线的基本元素, 也可以说直线就是点的集合. 在平面直角坐标系中, 可以用坐标(x, y)表示点. 那么, 如何用坐标表示直线呢？为了用代数方法研究直线的有关问题, 本节首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素, 然后用代数方法把这些几何要素表示出来. 确定一条直线的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的一条直线l(图2.1-1), 如何利用坐标系确定它的位置？y 则 就是这条直线的方向向量. 设A, B为直线上的两点, lBOx所以, 两点确定一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条直线. A图2.1-1一、确定直线位置的几何要素：点和方向 在平面直角坐标系中, 经过一点P可以作无数条直线l1, l2, l3, …, 它们组成一个直线束(图2.1-2), 这些直线的区别是什么？l2yl3l’α’l1α3α2α1规定：水平直线的方向向右, 其他直线向上的方向为这条直线的方向. POx故这些直线的区别是它们的方向不同. 作者：湛江市第五中学钟景荣图2.1-2如何表示这些直线呢？ 这些直线相对于x轴的倾斜程度不同, 即它们与x轴所成的角不同. 故可利用这样的角来表示这些直线的方向.二、直线的倾斜角： 当直线l与x轴相交时, 我们以x轴为基准, x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角(angle of inclination). 图2.1-2中直线l1的倾斜角α1为锐角, 直线l’的倾斜角α’为钝角. 当直线l与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0o, 因此, 直线的倾斜角α的取值范围为0o≤α180o. 每一条直线都有一个确定的倾斜角. 方向相同的直线, 其倾斜程度相同, 倾斜角相等.方向不同的直线, 倾斜角不相等. 倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度, 也即表示直线的方向.直线和它的倾斜角0oα90oα=0o倾斜角直线yyyyl作者：湛江市第五中学钟景荣作者：湛江市第五中学钟景荣lPαlPxxxxOOOOα=90o90oα180o倾斜角直线作者：湛江市第五中学钟景荣ll作者：湛江市第五中学钟景荣lαPP三、倾斜角和斜率 设P1(x1, y1), P2(x2, y2)是直线l上的两点, 由两点确定一条直线可知, 直线l由点P1, P2唯一确定. 所以, 可以推断, 直线l的倾斜角一定与P1, P2两点的坐标有内在联系.在平面直角坐标系中, 设直线l的倾斜角为α.(1)已知直线l经过O(0,0), P( , 1), α与O, P的坐标有什么关系？ 对于问题(1), 如图2.1-3(1), 向量, 且直线OP的倾斜角为α. y作者：湛江市第五中学钟景荣l由正切函数的定义, 有 1Ptanα=αOx图2.1-3(1) 对于问题(2), 如图2.1-3(2),在平面直角坐标系中, 设直线l的倾斜角为α.(2)类似地, 如果直线l经过P1(-1,1), P2(,0), α与P1, P2的坐标有什么关系？ 平移向量 到, 则点P的坐标为, 且直线OP的倾斜角也是α. y作者：湛江市第五中学钟景荣作者：湛江市第五中学钟景荣由正切函数的定义, 有 P1(-1,1)lααtanα=PxOP2图2.1-3(2) 一般地, 如图2.1-4, 当向量 的方向向上时, =(x2-x1, y2-y1). 在平面直角坐标系中, 设直线l的倾斜角为α.(3)一般地, 如果直线l经过两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), x1≠x2, 那么α与P1, P2的坐标有怎样的关系？ 平移向量 到, 则点P的坐标为(x2-x1, y2-y1), 且直线OP的倾斜角也是α.由正切函数的定义, 有 yyllP2P2作者：湛江市第五中学钟景荣作者：湛江市第五中学钟景荣PPP1P1ααααOOxx图2.1-4 同样,当向量 的方向向上时,如图2.1-5, =(x1-x2, y1-y2), 也有. llP1P1PPP2P2αααα图2.1-5yy作者：湛江市第五中学钟景荣作者：湛江市第五中学钟景荣 当直线P1P2与x轴平行或重合时, 上述式子还成立吗？为什么？当直线P1P2与x轴平行或重合时, y1=y2, x1≠x2, 因此上述式子仍然成立.OO