【选修】2.3.2两点间的距离公式(第二版).pptx

湛江市第五中学 2.3.2 两点间的距离公式 作者：湛江市第五中学钟景荣 【选择性必修第一册】 2 学习目标 1. 探索并掌握平面上两点间的距离公式. 重点：求两点间的距离. 难点：两点间的距离的应用. 核心素养：数学运算、直观想象、逻辑推理、数学建模. 如图2.3-2, 已知平面内两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), 如何求P1, P2两点间的距离|P1P2|? 3 一、两点间的距离公式 (2)当x1=x2, y1≠y2时, 我们知道, 在各种几何量中, 直线段的长度是最基本的. 所以, 在解析几何中, 最基本的公式自然是用平面内两点的坐标表示这两点间距离的公式. (1)当x1≠x2, y1=y2时, |P1P2|=|x2-x1|; |P1P2|=|y2-y1|; P2(x2, y2) P1(x1, y1) P1(x1, y1) (3)当x1≠x2, y1≠y2时, |P1P2|= ? 4 (3)当x1≠x2, y1≠y2时, 由点P1(x1, y1), P2(x2, y2),得 =(x2-x1, y2-y1). 由此得到P1(x1, y1), P2(x2, y2)两点间的距离公式 特别地, 原点O(0, 0)与任一点P(x, y)间的距离是 P1(x1, y1) P2(x2, y2) P(x, y) 向量法(向量的模就是两点间的距离) 5 在Rt△P1GP2中, 由勾股定理得 ∴|P1P2|2=|x2-x1|2+ | y2-y1 |2. |P1P2|2=|P1G|2+|GP2|2. ∵| P1G |=|x2-x1|, |GP2|=| y2-y1 |. 由此得到P1(x1, y1), P2(x2, y2)两点间的距离公式 比较两种方法可知, 利用向量法推导较简便. 勾股定理法 P1(x1, y1) P2(x2, y2) G(x2, y1) 你能利用P1(x1, y1), P2(x2, y2)构造直角三角形, 再用勾股定理推导两点间距离公式吗？与向量法比较, 你有什么体会？ 6 (4) ∴ |CD|=|y2-y1|=|-1-(-4)|=3. 解: (1)∵ x2≠x1, y1=y2, 1. 求下列两点间的距离： ∴ |AB|=|x2-x1|=|-2-6|=8. (2) ∵ x1=x2, y1≠y2, (3) (1) A(6, 0), B(-2, 0); (2) C(0, -4), D(0, -1); (3) P(6, 0), Q(0, -2); (4) M(2, 1), N(5, -1). 7 且 所以, 所求的点为P(1, 0). 解：设所求点为P(x, 0), 则 由|PA|=|PB|, 得 x2+2x+5= x2-4x+11. 解得 x=1. 解：由两点间的距离公式, 得 即 a2+225=289 . 解得 a = 8或a =-8 . =17, 2. 已知点A(a, -5)与B (0, 10)间的距离是17, 求a 的值. 8 则 又∵ 解法1：设C(x0, y0)是线段AB中点, l是线段AB的垂直平分线, 3. 已知点A(7,-4), B(-5,6), 求线段AB的垂直平分线的方程. ∴ 即 6x-5y-1=0. 解法2：设P(x, y)是线段AB的垂直平分线上任意一点, 依题意可得 |AP|=|PB|, 即 (x-7)2+(y+4)2=(x+5)2+(y-6)2, 化简得所求直线方程为6x-5y-1=0. 坐标法简便 得C(1, 1). 9 ①要使尽可能多的点落在坐标轴上, 这样便于运算. ②如果图形中有互相垂直的两条线, 可考虑将其作为坐标轴. 分析：首先要建立适当的平面直角坐标系, 用坐标表示有关的量, 然后进行代数运算, 最后把代数运算的结果 “翻译”成几何关系. ★建立适当的坐标系对简化计算很重要, 应遵循以下原则： 二、坐标法的应用 ③如果图形具有中心对称性, 可考虑将中心作为坐标原点. ④如果图形具有轴对称性, 可以考虑将对称轴作为坐标轴. 例4 用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍. 图2.3-4 10 在ABCD中, 点A的坐标是(0,0), 证明：如图2.3-4, 四边形ABCD是平行四边形, 以顶点A为原点, 边AB所在直线为x轴, 建立如图所示的平面直角坐标系. 因为平行四边形的对边相等, 即|AB|=|DC|=a, 所以将点D向右平移a个单位长度即可得到点C的坐标为(a+b, c). 设点B的坐标为(a,0), 点D的坐标为(b