【选修】2.3.3点到直线的距离公式(第二版).pptx

湛江市第五中学 2.3.3 点到直线的距离公式 作者：湛江市第五中学钟景荣 【选择性必修第一册】 2 学习目标 1.了解点到直线距离公式的推导，能记住点到直线距离的公式，并会应用公式解题. 重点：点到直线距离的公式及其应用. 难点：点到直线的距离公式的推导. 核心素养：数学运算、逻辑推理、数学建模. 3 两点间的距离公式: 复习回顾 特别地, 原点O(0, 0)与任一点P(x, y)间的距离是 P1(x1, y1) P2(x2, y2) P(x, y) (2)当x1=x2, y1≠y2时, (1)当x1≠x2, y1=y2时, |P1P2|=|x2-x1|; |P1P2|=|y2-y1|; P2(x2, y2) P1(x1, y1) P1(x1, y1) (3)当x1≠x2, y1≠y2时, 4 点P到直线l的距离, 就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度, 其中Q是垂足(图2.3-5). 因此, 求出垂足Q的坐标, 利用两点间的距离公式求出|PQ|, 就可以得到点P到直线l的距离. 即Bx-Ay=Bx0-Ay0. 如图2.3-5, 已知点P(x0, y0), 直线l: Ax+By+C=0, 如何求点P到直线l的距离? 一、用坐标法推导点到直线的距离公式 P(x0, y0) Q l 5 得直线l与PQ的交点坐标, 即垂足Q的坐标为 于是| PQ |= 因此, 点P(x0, y0)到直线l: Ax+By+C=0的距离为 解方程组 Ax+By+C=0, Bx-Ay=Bx0-Ay0. ① 6 特殊情况： 公式特点： (2) 分子是直线方程一般式中等号左边的代数式代入点P(x0, y0)的坐标后的绝对值, 即|Ax0+By0+C|. P(x0, y0) 7 在上述方法中, 若设垂足Q的坐标为(x, y), 则 对于②式, 你能给出它的几何意义吗？结合方程组①, 能否直接求出 (x-x0)2+(y-y0)2, 进而求出|PQ|呢？请你试一试. 上述方法中, 我们根据点到直线距离的定义, 将点到直线的距离转化为两点之间的距离, 思路自然但运算量较大. 反思求解过程, 你发现引起复杂运算的原因了吗？由此能否给出简化运算的方法？ 方程组 Ax+By+C=0, Bx-Ay=Bx0-Ay0. ① |PQ|= ② 查看解答 8 二、用向量法推导点到直线的距离公式 我们知道, 向量是解决距离、角度问题的有力工具. 能否用向量方法求点到直线的距离？ P(x0, y0) Q l P1 P2 M(x, y) 9 由平面向量的数量积运算可知, 向量(A, B)与向量(x2-x1, y2-y1)垂直. 设P1(x1, y1), P2(x2, y2)是直线l: Ax+By+C=0上的任意两点, 则 因为M(x, y)在直线l上, 所以Ax+By+C=0. 即Ax+By=-C. P(x0, y0) Q l P1(x1, y1) P2(x2, y2) M(x, y) 10 代入上式, 得 “等积法”也是求距离的一种方法. 因此|PQ|= 比较上述两种方法, 第一种方法从定义出发, 把问题转化为求两点间的距离, 通过代数运算得到结果, 思路自然; 第二种方法利用向量投影, 通过向量运算求出结果, 简化了运算. 除了上述两种方法, 你还有其他推导方法吗？ 三、点到直线的距离公式的其他推导方法 11 所以 |RS| = 由d |RS|=|P0R||P0S|得 如图, 设A≠0, B≠0, 则直线l与x轴和y轴都相交, 过点P0分别作x轴和y轴的平行线, 交直线l于点R和S, 则直线P0R的方程为y=y0, ★等面积法求点到直线的距离 P0 R Q S (x0,y0) d l: Ax+By+C=0 d = 12 所以点P(-1, 2)到直线l: 3x=2的距离为 例5 求点P(-1, 2)到直线l: 3x=2的距离. 分析：将直线l: 3x=2的方程写成一般式 3x-2=0, 再利用点到直线的距离公式求解. d = 解：点P(-1, 2)到直线l: 3x-2=0的距离 直线l: 3x=2平行于y轴, 方程化为 P(-1, 2) 点评：实际上是转化为两点间的距离求解. 13 1. 求原点到下列直线的距离： 解：(1)原点O(0, 0)到直线l: 3x+2y-26=0的距离 (2) 将直线l的方程化为一般式：x-y=0, (1) l: 3x+2y-26=0; (2) l: x=y. 则原点O(0, 0