9.示范教案（2.5.1 平面几何中的向量方法）.docx

2.5 平面向量应用举例 2.5.1 平面几何中的向量方法 整体设计 教分析 1.本节的目的是让生加深对向量的认识,更好地体会向量这个工具的优越性.对于向量方法,就思路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致,不同的只是用“向量和向量运算”代替“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.代数方法的流程图可以简单地表述为 则向量方法的流程图可以简单地表述为 这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”,也是本节的重点. 2.研究几何可以采取不同的方法,这些方法包括 综合方法——不使用其他工具,对几何元素及其关系直接进行讨论; 解析方法——以数(代数式)和数(代数式)的运算为工具,对几何元素及其关系进行讨论; 向量方法——以向量和向量的运算为工具,对几何元素及其关系进行讨论; 分析方法——以微积分为工具,对几何元素及其关系进行讨论,等等. 前三种方法都是中数中出现的内容. 有些平面几何问题,利用向量方法求解比较容易.使用向量方法要点在于用向量表示线段或点,根据点与线之间的关系,建立向量等式,再根据向量的线性相关与无关的性质,得出向量的系数应满足的方程组,求出方程组的解,从而解决问题.使用向量方法时,要注意向量起点的选取,选取得当可使计算过程大大简化. 三维目标 1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”. 2.明了平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示. 3.通过本节习,让生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性,活跃生的思维,发展生的创新意识,激发生的习积极性,并体会向量在几何和现实生活中的意义.教中要求尽量引导生使用信息技术这个现代化手段. 重点难点 教重点用向量方法解决实际问题的基本方法;向量法解决几何问题的“三步曲”. 教难点如何将几何等实际问题化归为向量问题. 课时安排 1课时 教过程 导入新课 思路1.(直接导入)向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景,当向量和平面坐标系结合后,向量的运算就完全可以转化为代数运算.这就为我们解决物理问题和几何研究带了极大的方便.本节专门研究平面几何中的向量方法. 思路2.(情境导入)由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出,因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题.下面通过几个具体实例,说明向量方法在平面几何中的运用. 推进新课 新知探究 提出问题 图1 ①平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型,如图1,你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？ ②你能利用所知识证明你的猜想吗？能利用所的向量方法证明吗？试一试可用哪些方法? ③你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？ 活动①教师引导生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系.利用类比的思想方法,猜想平行四边形有没有相似关系.指导生猜想出结论平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和. ②教师引导生探究证明方法,并点拨生对各种方法分析比较,平行四边形是生熟悉的重要的几何图形,在平面几何的习中,生得到了它的许多性质,有些性质的得出比较麻烦,有些性质的得出比较简单.让生体会研究几何可以采取不同的方法,这些方法包括综合方法、解析方法、向量方法. 图2 证明方法一如图2. 作CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,则Rt△ADF≌Rt△BCE. ∴AD=BC,AF=BE.由于AC AE2+CE2=(AB+BE)2+CE2=AB2+2AB·BE+BE2+CE2=AB2+2AB·BE+BC2. BD2=BF2+DF2=(AB-AF)2+DF2=AB2-2AB·AF+AF2+DF2=AB2-2AB·AF+AD2=AB2-2AB·BE+BC2.∴AC2+BD2=2(AB2+BC2). 图3 方法二如图3. 以AB所在直线为x轴,A为坐标原点建立直角坐标系. 设B(a,0),D(b,c),则C(a+b,c). ∴|AC|2=(a+b)2+c2=a2+2ab+b2+c2, |BD|2=(a-b)2+(-c)2=a2-2ab+b2+c2. ∴|AC|2+|BD|2=2a2+2(b2+c2)=2(|AB|2+|AD|2). 用向量方法推导了平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系.在用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时,常常考虑用向量的数量积.通过以下推导生可以发现,由于向量能够运算,因此它在解决某些几何问题时具有优越性,它把一个思辨过程变成