5.示范教案（2.3.2　等差数列的前n项和(二)）.docx

2.3.2　等差数列的前n项和(二) 从容说课 “等差数列的前n项和”第二节课的主要内容是让生进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式，进一步去了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究Sn的最值，会其常用的数方法和体现出的数思想.从而提高生分析问题、解决问题的能力.通过本节课的教使生对等差数列的前n项和公式的认识更为深刻. 通过本节例题的教，使生能活用求和公式解题，并进一步感受到数列与函数、数列与不等式等方面的联系，促进生对本节内容认知结构的形成，通过探究一些特殊数求和问题的思路和方法，体会数思想方法的运用. 在本节教中，应让生融入问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、操作、探索、交流、反思，认识和理解等差数列的求和内容，会习并能积极地发展自己的能力. 教重点 熟练掌握等差数列的求和公式. 教难点 灵活应用求和公式解决问题. 教具准备 多媒体课件、投影仪、投影胶片等 三维目标 一、知识与技能 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式； 2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题； 3.会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究Sn的最值. 二、过程与方法 1.经历公式应用的过程，形成认识问题、解决问题的一般思路和方法； 2.会其常用的数方法和体现出的数思想，促进生的思维水平的发展. 三、情感态度与价值观 通过有关内容在实际生活中的应用，使生再一次感受数于生活，又服务于生活的实用性，引导生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数地解决问题. 教过程 导入新课 师 首先回忆一下上一节课所主要内容. 生 我们上一节课习了等差数列的前n项和的两个公式： (1)；(2). 师 对，我们上一节课习了等差数列的前n项和的公式，了解等差数列的一些性质.会了求和问题的一些方法，本节课我们继续围绕等差数列的前n项和的公式的内容进一步习与探究. 推进新课 ［合作探究］ 师 本节课的第一个内容是研究一下等差数列的前n项和的公式的函数表示，请同们将求和公式写成关于n的函数形式. 生 我将等差数列{an}的前n项和的公式整理、变形得到：n.(*) 师 很好!我们能否说(*)式是关于n的二次函数呢? 生1 能，(*)式就是关于n的二次函数. 生2 不能，(*)式不一定是关于n的二次函数. 师 为什么? 生2 若等差数列的公差为0，即d=0时，(*)式实际是关于n的一次函数!只有当d≠0时，(*)式才是关于n的二次函数. 师 说得很好!等差数列{an}的前n项和的公式可以是关于n的一次函数或二次函数.我问一下：这函数有什么特征? 生 它一定不含常数项，即常数项为0. 生 它的二次项系数是公差的一半. …… 师 对的，等差数列{an}的前n项和为不含常数项的一次函数或二次函数.问：若一数列的前n项和为n的一次函数或二次函数，则这数列一定是等差数列吗? 生 不一定，还要求不含常数项才能确保是等差数列. 师 说的在理.同们能画出(*)式表示的函数图象或描述一下它的图象特征吗? 生 当d=0时，(*)式是关于n的一次函数，所以它的图象是位于一条直线上的离散的点列，当d≠0时，(*)式是n的二次函数，它的图象是在二次函数的图象上的一群孤立的点.这些点的坐标为(n,Sn)(n=1，2，3，…). 师 说得很精辟. ［例题剖析］ 【例】 (课本第51页例4) 分析等差数列{an}的前n项和公式可以写成，所以Sn可以看成函数 (x∈N *)当x=n时的函数值.另一方面，容易知道Sn关于n的图象是一条抛物线上的点.因此我们可以利用二次函数求n的值.(解答见课本第52页) 师 我们能否换一个角度再思考一下这个问题呢？请同们说出这个数列的首项和公差. 生 它的首项为5，公差为. 师 对，它的首项为正数，公差小于零，因而这个数列是个单调递减数列，当这数列的项出现负数时，则它的前n项的和一定会开始减小，在这样的情况下，同们是否会产生新的解题思路呢？ 生 老师，我有一种解法：先求出它的通项，求得结果是an=a1+(n-1)d=. 我令≤0，得到了n≥8，这样我就可以知道a8=0，而a9＜0.从而便可以发现S7=S8，从第9项和Sn开始减小，由于a8=0对数列的和不产生影响，所以就可以说这个等差数列的前7项或8项的和最大. 师 说得非常好!这说明我们可以通过研究它的通项取值的正负情况研究数列的和的变化情况. ［方法引导］ 师 受刚才这位同的新解法的启发，我们大家一起归纳一下这种解法的规律： ①当等差数列{an}的首项大于零，公差小于零时，它的前n 项的和有怎样的最值?可通过什么求达到最值时的n的