6.2.3- 6.2.4 组合与组合数 教学设计.docx

6.2.3- 6.2.4 组合与组合数 本节课选自《2019人教A版高中数选择性必修第三册》，第六章《计数原理》，本节课主本节课主要习组合与组合数. 排列与组合是在习了两个计数原理之后，由于排列、组合及二项式定理的研究都是以两个计数原理为基础，同时排列和组合又能进一步简化和优化计数问题。教的重点是组合的理解，利用计数原理及排列数公式推导组合数公式，注意区分排列与组合的区别，难点是运用组合解决实际问题。 课程目标 素养 A. 理解并掌握组合、组合数的概念,掌握组合与排列之间的联系与区别. B.熟练掌握组合数公式及组合数的两个性质,并运用于计算之中. C.能够运用排列组合公式及计数原理解决一些简单的应用问题,提高生的数应用能力与分析问题、解决问题的能力. 1.数抽象：组合的概念 2.逻辑推理：组合数公式的推导 3.数运算：组合数的计算及性质 4.数建模：运用组合解决计数问题 重点：组合、组合数的概念并运用排列组合公式解决问题 难点：组合与排列之间的联系与区别 多媒体 教过程 教设计意图 核心素养目标 问题探究 问题1. 从甲乙丙三名同中选两名去参加一项活动，有多少种不同的选法？这一问题与6.2.1节问题一有什么联系与区别？ 分析：在6.2.1?节问题1的6种选法中，存在“甲上午，乙下午”和“甲上午，乙下午” 2种不同顺序的选法，我们可以将它看成先选出甲、乙两名同，然后再分配上午和下午而得到的.同样，先选出甲、丙、或乙、丙，再分配上午和下午也各有2种方法.从而甲、乙、丙3名同选2名去参加一项活动，就只需考虑选出的2名同作为一组，不需要考虑他们的顺序。于是，在6.2.1节问题1的6种选法中，将选出的2名同作为一组的选法就只有如下3种情况： 甲乙、甲丙、乙丙. 从三个不同元素中取出两个元素作为一组一共有多少个不同的组？ 一、组合的相关概念 1.组合一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 2.相同组合两个组合只要元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的. 名师点析排列与组合的区别与联系 (1)共同点两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素. (2)不同点排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关. 1.校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆，下面的问题是排列问题，还是组合问题？（1）从中选3辆，有多少种不同的方法？（2）从中选2辆给3位同有多少种不同的方法？ （1）与顺序无关，是组合问题； （2）选出2辆给3位同是有顺序的，是排列问题。 例5.平面内有A，B，C，D共4个点.（1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？（2）以其中2个点为端点的线段共有多少条？ 分析：（1）确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑他们的顺序是排列问题；（2）确定一条线段，只需确定两个端点，而不需要考虑它们的顺序是组合问题. 解：（1）一条有向线段的两个端点，要分起点和终点，以平面内4个点中的2个为端点的有向线段条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为A42=4×3=12.这 AB?,?BA, AC?,?CA, AD?,?DA, BC （2）由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段，就是中平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数， 共有如下6条：?AB,AC,AD,BC,BD,CD. 问题2：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同” 为标准分类，你能建立起例5（1）中排列和（2）中组合之间的对应关系吗？ 进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？ 二、组合数与组合数公式 1.组合数的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数, 用符号Cnm 例如，从3个不同元素中取出2个元素的组合数，表示为C3 从4个不同元素中取出3个元素的组合数，表示为C4 思路：从4个不同元素中取出3个元素的组合数C43，设这4个元素为a,b,c,d，那么从中取出3个元素的排列数A43 =24，以“元素相同”为标准将这24个排列分组如图，一共有4组，因此组合数 问题3：前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数Anm求组合数 也可以这样理解，求“从4个元素中取出3个元素的排列数A4 第1步，从4个元素中取出3个元素作为一组，共有C43种不同的取法；第2步，将取出的3个元素做全排列，共有A33种不同的取法.于是，根据分布乘法计数原理有 即 C43= 同样的从n个不同对象中取出m个做排列，可以分成两个步骤完成，第一步从n个不同对象中取出 m个，有Cnm 第二步将选出的m?个对象做全排列，有Amm