7.示范教案（2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义）.docx

2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 整体设计 教分析 前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能,运算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量.我们需要一个向量运算反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知,向量概念的引入与物理的研究密切相关,物理家很早就知道,如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1),那么力F所做的功 图1 W=|F||s|cosθ 功W是一个数量,其中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量F,s有关.熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义 a·b=|a||b|cosθ. 这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它更加简洁地表述几何中的许多结果. 向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量. 三维目标 1.通过经历探究过程,掌握平面向量的数量积及其几何意义.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律. 2.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,并掌握向量垂直的条件. 3.通过问题的解决,培养生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养生的交流意识、合作精神;培养生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力. 重点难点 教重点平面向量数量积的定义. 教难点平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用. 课时安排 1课时 教过程 导入新课 思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理中的力、运动等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量研究. 在物理课中,我们过功的概念,即如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力F所做的功W可由下式计算 W=|F||s|cosθ 其中θ是F与s的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量). 故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念. 思路2.前面我们已过,任意的两个向量都可以进行加减运算,并且两个向量的和与差仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算,就自然地会想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？ 推进新课 新知探究 提出问题 ①a·b的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么? ②由所知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运算,它是否满足实数的乘法运算律？ ③我们知道,对任意a,b∈R,恒有(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2.对任意向量a、b,是否也有下面类似的结论? (1)(a+b)2=a2+2a·b+b2; (2)(a+b)·(a-b)=a2-b2. 活动已知两个非零向量a与b,我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即 a·b=|a||b|cosθ(0≤θ≤π). 其中θ是a与b的夹角,|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.如图2为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°. 图2 在教师与生一起探究的活动中,应特别点拨引导生注意 (1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积; (2)零向量与任一向量的数量积为0,即a·0=0; (3)符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替; (4)当0≤θ时cosθ0,从而a·b0;当θ≤π时,cosθ0,从而a·b0.与生共同探究并证明数量积的运算律. 已知a,b,c和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律 ①a·b=b·a(交换律); ②(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律); ③(a+b)·c=a·c+b·c(分配律). 特别是(1)当a≠0时,由a·b=0不能推出b一定是零向量.这是因为任一与a垂直的非零向量b,都有a·b=0.