4.示范教案（2.2.3 向量数乘运算及其几何意义）.docx

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 整体设计 教分析 向量的数乘运算,其实是加法运算的推广及简化,与加法、减法统称为向量的三大线性运算.教时从加法入手,引入数乘运算,充分展现了数知识之间的内在联系.实数与向量的乘积,仍然是一个向量,既有大小,也有方向.特别是方向与已知向量是共线向量,进而引出共线向量定理.共线向量定理是本章节中重要的内容,应用相当广泛,且容易出错.尤其是定理的前提条件向量a是非零向量.共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质,且与后续的知识有着紧密的联系. 三维目标 1.通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程,掌握实数与向量积的定义,理解实数与向量积的几何意义,掌握实数与向量的积的运算律. 2.理解两个向量共线的等价条件,能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行. 3.通过探究,体会类比迁移的思想方法,渗透研究新问题的思想和方法,培养创新能力和积极进取精神.通过解决具体问题,体会数在生活中的重要作用. 重点难点 教重点1.实数与向量积的意义.2.实数与向量积的运算律.3.两个向量共线的等价条件及其运用. 教难点对向量共线的等价条件的理解运用. 课时安排 1课时 教过程 导入新课 思路1.前面两节课,我们一起习了向量加减法运算,这一节,我们将在加法运算基础上研究相同向量和的简便计算及推广.在代数运算中,a+a+a=3a,故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法,那么相同向量的求和运算是否也有类似的简便计算. 思路2.一物体做匀速直线运动,一秒钟的位移对应的向量为a,那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？怎样用图形表示？由此展开新课. 推进新课 新知探究 提出问题 ①已知非零向量a,试一试作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a). ②你能对你的探究结果作出解释,并说明它们的几何意义吗? ③引入向量数乘运算后,你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗?怎样理解两向量平行？与两直线平行有什么异同？ 活动引导生回顾相关知识并猜想结果,对于运算律的验证,点拨生通过作图进行.通过生的动手作图,让生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义.教师要引导生特别注意0·a=0,而不是0·a=0.这个零向量是一个特殊的向量,它似乎很不起眼,但又处处存在,稍不注意就会出错,所以要引导生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系.实数与向量可以求积,但是不能进行加、减运算,比如λ+a,λ-a都无法进行.向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似,只是数乘运算的分配律有两种不同的形式(λ+μ)a=λa+μa和λ(a+b)=λa+λb ,数乘运算的关键是等式两边向量的模相等,方向相同.判断两个向量是否平行(共线),实际上就是看能否找出一个实数,使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量.一定要切实理解两向量共线的条件,它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段. 对问题①,生通过作图1可发现,=++=a+a+a.类似数的乘法,可把a+a+a记作3a,即=3a.显然3a的方向与a的方向相同,3a的长度是a的长度的3倍,即|3a|=3|a|.同样,由图1可知, 图1 ==(-a)+(-a)+(-a), 即(-a)+(-a)+(-a)=3(-a).显然3(-a)的方向与a的方向相反,3(-a)的长度是a的长度的3倍,这样,3(-a)=-3a. 对问题②,上述过程推广后即为实数与向量的积. 我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下 (1)|λa|=|λ||a|; (2)当λ0时,λa的方向与a的方向相同;当λ0时,λa的方向与a的方向相反. 由(1)可知,λ=0时,λa=0. 根据实数与向量的积的定义,我们可以验证下面的运算律. 实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数,那么 (1)λ(μa)=(λμ)a; (2)(λ+μ)a=λa+μa; (3)λ(a+b)=λa+λb. 特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb. 对问题③,向量共线的等价条件是如果a(a≠0)与b共线,那么有且只有一个实数λ,使b=λa.推证过程教师可引导生自己完成,推证过程如下对于向量a(a≠0)、b,如果有一个实数λ,使b=λa,那么由向量数乘的定义,知a与b共线.反过,已知向量a与b共线,a≠0,且向量b的长度是向量a的长度的μ倍,即|b|=μ|a|,那么当a与b同方向时,有b=μa;当a与b反方向时,有b=-μa. 关于向量共线的条件,教师要点拨生做进一步深层探究,让生思考,若去掉a≠0这一条件,上述条件成立吗?其目的是通过0与任意向量的平行加深对