2013考研数学（二）真题.docx

2013年全国硕士研究生入统一考试 数（二） （目代码：302） （考试时间：上午830-1130） 考生注意事项 1.答题前，考生须在试题册指定位置填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。 2.选择题答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。 3.填（书）写部分必须使用黑色签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用 2B 铅笔填涂。 4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。 2013年全国硕士研究生入统一考试 数（二）试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上． （1）设，其中，则当时，是 （A）比高阶的无穷小量. （B）比低阶的无穷小量. （C）与同阶但不等价的无穷小量. （D）与等价的无穷小量. （2）设函数由方程确定，则 （A）． （B）． （C）． （D）． （3）设函数，则 （A）是函数的跳跃间断点． (B) 是函数的可去间断点． （C）在处连续但不可导． （D）在处可导． （4）设函数若反常积分收敛，则 （A）． （B）． （C）． （D）． （5）设，其中函数可微，则 （A）． （B）． （C）． （D）． （6）设是圆域在第象限的部分，记 ，则 （A）． （B）． （C）． （D）． （7）设矩阵均为阶矩阵，若，且可逆，则 （A）矩阵的行向量组与矩阵的行向量组等价． （B）矩阵的列向量组与矩阵的列向量组等价． （C）矩阵的行向量组与矩阵的行向量组等价． （D）矩阵的列向量组与矩阵的列向量组等价． （8）矩阵与相似的充分必要条件为 （A）． （B）为任意常数． （C）． （D）为任意常数． 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上． （9） ． （10）设函数，则的反函数在处的导数 ． （11）设封闭曲线的极坐标方程为，则所围成的平面图形的 面积是 ． （12）曲线上对应于的点处的法线方程为 ． （13）已知是某二阶常系数非齐次线性微分 方程的3个解，则该方程满足条件的解 ． （14）设是三阶非零矩阵，为的行列式，为的代数余子式， 若，则= ． 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸指定位置上． （15）(本题满分10分) 当时，与为等价无穷小量，求和的值. （16）(本题满分10分) 设是由曲线，直线及轴所围成的平面图形，分别是 绕轴，轴旋转一周所得旋转体的体积. 若，求的值. （17）(本题满分10分) 设平面内区域是由直线及围成,计算. （18）(本题满分10分) 设奇函数在上具有阶导数，且,证明： （Ⅰ）存在，使得； （Ⅱ）存在，使得. （19）(本题满分10分) 求曲线上的点到坐标原点的最长距离与最短距离. （20）(本题满分11分) 设函数. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）设数列满足.证明存在，并求此极限. （21）(本题满分11分) 设曲线的方程为. （Ⅰ）求的弧长； （Ⅱ）设是由曲线，直线及轴所围平面图形，求的形心的横坐标. （22）(本题满分11分) 设.当为何值时，存在矩阵使得, 并求所有矩阵. （23）(本题满分11分) 设二次型，记 . （Ⅰ）证明二次型对应的矩阵为. （Ⅱ）若正交且均为单位向量，证明在正交变换下的标准形为.