4.1.1 n次方根与分数指数幂 教学设计（2）.docx

【新教材】4.1.1 n次方根与分数指数幂 教设计（人教A版） 生在初中习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，又习了正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念，以及整数指数幂的运算法则。有了这些知识作储备，教书通过实际问题引入分数指数幂，说明了扩张指数范围的必要性。 课程目标 1. 理解n次方根、根式的概念与分数指数幂的概念． 2. 掌握分数指数幂和根式之间的互化、化简、求值； 3. 掌握分数指数幂的运算性质。 数素养 1.数抽象：n次方根、根式的概念与分数指数幂的概念； 2.逻辑推理：分数指数幂和根式之间的互化； 3.数运算：利用分数指数幂的运算性质化简求值； 4.数建模：通过与初中所的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质。 重点：（1）根式概念的理解； 分数指数幂的理解； 掌握并运用分数指数幂的运算性质. 难点：根式、分数指数幂概念的理解． 教方法：以生为主体，采用类比发现，诱思探究式教，精讲多练。 教工具：多媒体。 情景导入 我们已经知道…是正整数指数幂，它们的值分别为….那么，的意义是什么呢？这正是我们将要习的知识.下面，我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数.为此，需要先习根式的知识. 要求：让生自由发言，教师不做判断。而是引导生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课 阅读课本104-106页，思考并完成以下问题 (1)n次方根是怎样定义的？ (2)根式的定义是什么？它有哪些性质？ (3)有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？ (4)根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？ (5)如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？ 要求：生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究 1．n次方根 定义 一般地，如果xn＝a，那么X叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N* 个数 n是奇数 a＞0 x＞0 x仅有一个值，记 为 a＜0 x＜0 n是偶数 a＞0 x有两个值，且互为相反数， 记为 a＜0 x不存在 2．根式 (1)定义：式子 叫做根式，这里n叫做 根指数 ，a叫做 被开方数 ． (2)性质：(n＞1，且n∈N*) ①(eq \r(n,a))n＝ .　②eq \r(n,an)＝ 3．分数指数幂的意义 分数 指 数幂 正分数 指数幂 规定：a＝eq \r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1) 负分数 指数幂 规定：a＝＝eq \f(1,\r(n,am)) (a＞0，m，n∈N*，且n＞1) 0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于 0 , 0的负分数指数幂 没有意义 4．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝(a＞0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝(a＞0，b＞0，r∈Q)． 四、典例分析、举一反三 题型一 根式的化简(求值) 例1 求下列各式的值 【答案】 解题技巧：（根式求值） （1）化简nan时,首先明确根指数n是奇数还是偶数,然后依据根式的性质进行化简;化简(na 关键是明确na是否有意义,只要na有意义,则( (2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的取值范围,即确定 中a的正负,再结合n的奇偶性给出正确结果. 跟踪训练一 1.化简 (1)eq \r(n,?x－π?n)(x＜π，n∈N*)；(2)eq \r(6,4a2－4a＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a≤\f(1,2))). 【答案】见解析 【解析】　(1)∵x＜π，∴x－π＜0. 当n为偶数时，eq \r(n,?x－π?n)＝|x－π|＝π－x； 当n为奇数时，eq \r(n,?x－π?n)＝x－π. 综上可知，eq \r(n,?x－π?n)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(π－x，n为偶数，n∈N*，,x－π，n为奇数，n∈N*.)) (2)∵a≤eq \f(1,2)，∴1－2a≥0， ∴eq \r(6,4a2－4a＋1)＝eq \r(6,?2a－1?2)＝eq \r(6,?1－2a?2)＝eq \r(3,1－2a). 题型二 分数指数幂的简单计算问题 例2　求值 【答案】见解析 【解析】 解题技巧：(分数指数幂的运算技巧) 1.对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式. 2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式表示,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数. 跟踪训练二 1.计算 (1)12527-23 ; (2)0.008-23 ; (3)