6.3.1 二项式定理 教学设计.docx

6.3.1 二项式定理 本节课选自《2019人教A版高中数选择性必修第三册》，第六章《计数原理》，本节课主本节课主要习二项式定理 二项式定理的形成过程是组合知识的应用，同时也为随后习的概率知识及概率与统计，作知识上的铺垫。二项展开式与多项式乘法有密切的联系，本节知识的习，必然从更广的视角和更高的层次审视初中习的关于多项式变形的知识。运用二项式定理可以解决一些比较典型的数问题，例如近似计算、整除问题、不等式的证明等。本课数内容的本质：多项式乘法的深化与再认识。 课程目标 素养 A. 利用计数原理分析二项式的展开过程，归纳、猜想出二项式定理，并用计数原理加以证明； B.会应用二项式定理求解二项展开式； C.通过经历二项式定理的探究过程，体验“归纳、猜想、证明”的数发现过程，提高自己观察、分析、概括的能力，以及 “从特殊到一般”、“从一般到特殊”等数思想的应用能力. 1.数抽象：二项式定理 2.逻辑推理：运用组合推导二项式定理 3.数运算：运用二项式定理解决问题 4.数建模： 在具体情境中运用二项式定理 重点： 应用二项式定理求解二项展开式 难点：利用计数原理分析二项式的展开式 多媒体 教过程 教设计意图 核心素养目标 问题探究 上一节习了排列数公式和组合数公式，本节我们用它们解决一个在数上有着广泛应用的a+bn 问题1：我们知道 a+b2=a2+2ab+b2 a+b （1）观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？ （2）根据你发现的规律，你能写出a+b4 （3）进一步地，你能写出a+bn 我们先分析的展开过程，根据多项式乘法法则， a+b =a = 可以看到，a+b2是2个a+b相乘，只要从一个a+b中选一项（选a或b?），再从另一个a+b中选一项（选a或b?），就得到展开式的一项，于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，a+b2的展开式共有C21×C21=22 我们分析一下形如a2-kb 当k?=0时，a2-kbk=a2，这是由2个a+b中都不选 当于从2个a+b中取0个b?（即都取a?）的组合数C20，即a2 当k?=1时，a2-kbk= ab?，这是由1个a+b中选a，另一个a+b中选b得到的，由于b选定后，a的选法也随之确定，因此， ab出现的次数相当于从2个a+b中取1个b?的组合数C2 当k?=2时，a2-kbk= b2，这是由2个a+b中选b?得到的，因此，b2出现的次数相当于从2个a+b中取2个b?的组合数C 由上述分析可以得到 a+b 问题2：仿照上述过程，你能利用计数原理，写出a+b3，a+b 类似地，用同样的方法可知 a+b a+b 1．二项式定理 (a＋b)n＝_________________________ (n∈N*)． (1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有______项． (3)二项式系数：各项的系数____ (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． Ceq \o\al(0,n)an＋Ceq \o\al(1,n)an－1b＋Ceq \o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq \o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \o\al(n,n)bn n＋1 ；Ceq \o\al(k,n) 2．二项展开式的通项公式 (a＋b)n展开式的第______项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝______. k＋1 ；Ceq \o\al(k,n)an－kbk 二项式定理形式上的特点 (1)二项展开式有n+1项,而不是n项. (2)二项式系数都是Cnk(k=0,1,2,…,n), (3)二项展开式中的二项式系数的和等于2n,即Cn0+Cn1+C (4)在排列方式上,按照字母a的降幂排列,从第一项起,次数由n次逐项减少1次直到0次,同时字母b按升幂排列,次数由0次逐项增加1次直到n次. 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(a＋b)n展开式中共有n项． (　　) (2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响． (　　) (3)Ceq \o\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项． (　　) (4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同． (　　) [解析]　(1)×　因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项． (2)×　因为二项式的第k＋1项Ceq \o\al(k,n)an－kbk和(b＋a)n的展开式的 第k＋1项Ceq \o\al(k,n)bn－kak是不同的，其中的a，b是不能随便交换的． (3)×　因为Ceq \o\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n展开式中的第k＋1项． (4)√　因为(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数都是C