立体几何第二——角度问题.docxVIP

立体几何——角度问题 一、异面直线的角度 【浙江省嘉兴市2015年期末考试14】正四面体A5CO中，E、尸分别为AB、CO的中点，那么异面直线￡方和AO所成的角度为 答案：AQ与环所成的角为45°. 【浙江省杭州市第二次高考科目教学质量检测15］在正四面体ABCD中，M是A5的中点,N是棱上的一点，假设直线与AD所成的角度为a,那么cosa的取值范围为 【方法一解析】设四面体的边长为2m设CN=x, 根据余弦定理,B7V2=(26Z)2+x2-2-2a-x-cos60o=4a2+x2-2ax,GN2=^z2+(2^-x)2-2- a?(2a-x) - cos60°=3^2-3^x+%2, 根据勾股定理可知：MN2=BNa-a2=3a1+x2-2ax；亡「…ci1+3a2+x1-2ax-(3ci2-3ax+x1) a+x 所以cos/GMN- 之啦Ed -2g布卢令 a+x=Z,那么，￡伍，3a\, x=t-a, 所以 c°s/GMN-2 所以 c°s/GMN-2/_鼠6a2 1 2# 育 d+1 所以当臣［时，即仁3〃时，cosNGMN最大为害, 所以，我们在解决这样的问题的时候，不一定要用空间向量来解决，但是不能放弃空间向量 的思想方法，这可以帮助我们很快地找出线面角。所以，求线面角我们总结出一句结论为“平 移法向量与直线不在平面上的那个点相交J 【小试牛刀1］【浙江省台州市2015年期末质量评估（文），18］如图，在?△ABC中，ZACB=9Q° , D、E分别为A3、CZ）的中点，AE的延长线交C8于 点凡 现将△ACD沿CD折起，折成二面角A-CQB,连接AE ⑴求证：平面AEF_L平面C3。；（II）当二面角A-CD-B为直二面角时，求直线AB与平面AEb所成角的正弦值. 【小试牛刀2］【浙江省宁波市效实中学2016届高三期中考试（文），18］如图，在边长为2 的正方形ABCD中，E为线段A3的中点，将AAOE沿直线OE翻折成AAOE,使得平 面平面BCD石，尸为线段AC的中点. （I）求证：3/〃平面ADE；（口）求直线AfB与平面AO石所成角的正切值. （第18题） ZBCC=0, ZAOC=02,2、第二个三射线定理如图，过点A的三条直线，NA03=, ZBCC=0, ZAOC=02, 那么0A与平面BOC所成的角的余弦值 yj COS201+COS202-2COS01COS02COS0cosy-sine 三、二面角1、二面角的几何模型 ⑴二面角的定义的几何模型如下图，平面(X、平面P相交于直线I,如果直线AN在平面a 内，且AALU,直线3N在平面B内，且BNJU,那么NAN3就是 平面a、0的二面角. (2)三垂线定理及其逆定理: 三垂线定理：如下图，出是平面a的斜线段，斜足为A,直线〃在平面a内，0A是斜线 段山在平面a内的摄影，如果直线q_LOA,那么。_LB4；三垂线定理的逆定理：如果直线。在平面a内，勿是平面a的斜 线段，04是以在平面a内的摄影，如果。，雨，那么注意：三垂线定理及其逆定理在我们的教材上并没有出现，但是 在考试中，我们却不断地在运用这个原理，所以我们只能将之作 为一种思想方法运用，运用这样的方法去找出垂线，有了垂线就 有二面角。 【例题5】【浙江省温州市2015年高三第一次适应性考试(文)，18］如图，在四面体A5COC C C中，, AB=BC=2. C (I)求证：AC±BD；(II)假设平面A8DL平面8CO,且求二面角CAZXB的余弦值. 【解析】(I)如下图，过点A作于点￡,连接CE,因为/ABE=/CBE=60° , BE=BE,所以AABE义ACBE, W ZAEB= ZCEB=90° ,所以 AE_L3Z), CEA,BD, 因为AC在平面AEC内,(II)过点E作所，AD 因为平面平面BCD,由(I)知CELBD,所以CEJ_平面ABD, 所以E尸为C尸在平面A3。内的射影， 因为。石，平面A3O,所以CE_LAD, 又因为E凡L4。，所以平面CER 所以AOLC凡 所以/CFE为C-AD-B二面角;53 所以 cos ZEFC-由计算可得：EF驾^EF而CF~ 10 .由(I) 所以 cos ZEFC- 由计算可得：EF驾^ EF而 CF~ 10 . 【举一反三】【浙江省宁波市2015年高考模拟试题(理)，17］如图，正四棱锥S-A5C。中,SA=AB, E、R G分别为8C、SC. CQ的中点，设点尸为线段尸G 上的任意一点. (I)求证：EP1AC；(U)当直线CP与平面E9G所成的角取得最大值时，求二面角P-BD-S 的平面角的余弦值. 【解析】⑴如图，连接AC与3。相交于。，连接S。，易知ACJ_BD, SO±BD,所以AC_L平面S3。，点￡、F、G均