法向量在立体几何中的应用 .docxVIP

本文格式为Word版，下载可任意编辑 — PAGE \* Arabic 1 — 法向量在立体几何中的应用 1 法向量在立体几何中的应用  查宝才  （扬州市新华中学，江苏 225002）   向量在数学和物理学中的应用很广泛，在解析几何与立体几何里的应用更为直接，用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。将向量引入中学数学后，既丰富了中学数学内容，拓宽了中学生的视野；也为我们解决数学问题带来了一套全新的思想方法——向量法。下面就向量中的一种特别向量——法向量，结合近几年的高考题，谈谈其在立体几何有关问题中的应用。  1 法向量的定义  1.1 定义1 假如一个非零向量n 与平面α垂直，则称向量n 为平面α的法向量。  1.2 定义2 任意一个三元一次方程：0=+++D Cz By Ax ，222(C B A ++ )0≠都表示空间直角坐标系内的一个平面，其中),,(C B A n =为其一个法向量。]1[ 事实上，设点),,(0000z y x P 是平面α上的一个定点，),,(C B A n =是平面α的法向量，设点),,(z y x P 是平面α上任一点，则总有n P P ⊥0。  ∴ 00=?n P P ， 故 0),,(),,(000=?z z y y x x C B A ，  即 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A ，  ∴ 0000=++Cz By Ax Cz By Ax ，……①  设 000Cz By Ax D =，  则 ① 式可化为0=+++D Cz By Ax )0(222≠++C B A ，即为点P 的轨迹方程。 从而，任意一个三元一次方程：0=+++D Cz By Ax )0(222≠++C B A ， 都表示一个平面的方程，其法向量为),,(C B A =。  2 法向量在立体几何中的应用  2.1 利用法向量可处理线面角问题  设 θ为直线l 与平面α所成的角，?为直线l 的方向向量v 与平面α的法向量n 之  2  间的夹角，则有θπ  ?-=2  （图1）或θπ  ?+=  2  （图2）   图1 图2   特别地 0=?时，2  π  θ=  ，α⊥l ；2  π  ?=  时，0=θ，α?l 或α//l  例1（2022年, 新课程 、江苏 、辽宁卷高考题）  如图3，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，ο  90=∠ACB ，侧棱21=AA ，D ，E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面上的射影是ABD ?的重心G 。求B A 1与平面ABD （结果用反三角函数表示）  解 以C 为坐标原点，CA 所在直线为x 轴，CB y 轴，1CC 所在直线为z 轴，建立直角坐标系，  设a CB CA ==， 则 ）（0,0,a A ，）（0,,0a B ，）  （2,0,1a A ，）（1,0,0D ∴ ）（1,2,  2a a E ， ）（31,3,3a a G ， ）（3  2  ,6,6a a GE =，）（1,,0a BD -=， ∵ 点E 在平面ABD 上的射影是ABD ?的重心G ， ∴ ⊥GE 平面ABD ， ∴ 0=?BD GE ，解得 2=a 。  ∴ ）（3  2  ,31,31=  ， ）（2,2,21-=BA ， ∵ ⊥GE 平面ABD ， ∴ GE 为平面ABD 的一个法向量。  由 3  2323  6  34,cos 111=  ?=  =  ========??=S EF D ?， 设 平面EF D 1的方程为：0=+++D Cz By x ，将点F E D ,,1代入得  ?????=++=++=+022*******D B D B D C ， ∴  ???????-===2  32431D C B ， ∴ 平面EF D 1的方程为：023243=-+  +z y x ，其法向量为 )243,1,1(=n ， ∴点1B 到平面EF D 1的距离51611==d ， ∴ 31651653131111=??=??=  -d S V EFD EFD B ? 即为所求。 评析 （1）在求点到平面的距离时，有时也可直接利用点到平面的距离公式 222000|  |C B A D Cz By Ax