《高等数学（上册）》（阳平华）645-4教案 第二章 第6课 导数的概念.doc

第 课 第 课 导数的概念 6 导数的概念 导数的概念 第 课 6 PAGE 12 PAGE 12 PAGE 11 PAGE 11 导数的概念 导数的概念 第 课 6 课题 导数的概念 课时 2课时（90 min） 教学目标 知识技能目标： （1）理解导数的概念。 （2）会利用导数定义求导数，会通过导数定义计算简单函数的导数。 （3）理解函数的可导性与连续性的关系。 （4）理解导数的几何意义。 思政育人目标： 通过引导学生从生活中发现导数的定义，并一步步的探索，感受成功的乐趣，增强学生的自信心；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的。 教学重难点 教学重点：导数的概念、导数的几何意义 教学难点：利用导数定义求导数 教学方法 讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法 教学用具 电脑、投影仪、多媒体课件、教材 教学设计 第1节课：课前任务→考勤（2 min）→知识讲解（43 min） 第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min） 教学过程 主要教学内容及步骤 设计意图 第一节课 课前任务 【教师】布置课前问答题： （1）导数是因为哪些实际问题产生的？ （2）什么是导数？ （3）可导与连续的关系？ 【学生】提前上网有哪些信誉好的足球投注网站了解，查阅资料，了解问题，熟悉教材 通过课前的预热，让学生了解所学课程的大概内容，激发学生的学习欲望 考勤（2 min） 【教师】清点上课人数，记录好考勤 【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况 知识讲解（43 min） 【教师】讲解导数产生的背景，并通过例题讲解介绍其应用 例1 求变速直线运动物体的瞬时速度． 设某物体做变速直线运动，在时间内运动的路程为，求物体在时间的瞬时速度． 如果质点做匀速直线运动，那么按照公式 便可求出．但现在要求质点做变速直线运动的瞬时速度，遇到了速度变与不变的矛盾，在整个时间间隔内不能应用上述公式求时刻的速度．但孤立地停止在时刻，又无法求出，初等数学的知识已解决不了这一问题．那么我们可以设法在物体的运动变化和相互联系中，利用矛盾转化的方法，分三步来解决这一问题． （1）给一个增量，时间从变到了，路程有了增量 ， 这一步称为“求增量”． （2）当很小时，速度来不及有较大的变化，可把质点在间隔内的运动近似地看成匀速运动，这实质上是把变速运动近似地转化成匀速运动．现求物体在内的平均速度 ， 这一步简称为“求增量比”． （3）越来越小，平均速度便越来越接近于时刻的瞬时速度，于是当时，平均速度的极限就是瞬时速度，即 ， 这一步简称为“取极限”． 这样以辩证法为指导，以极限为工具，解决了初等数学无能为力的问题．用此结论，我们可以推出自由落体运动（为常数）在时刻的速度为． 例2 求曲线切线的斜率． 如图2-1所示，设连续曲线及上的点，在曲线上任取一点，作割线．如果在曲线上逐渐向点移动，则割线绕点转动．当点移动到位置（与重合）时，得到直线的极限位置，则称为曲线在点处的切线．这个定义包含了中学数学圆的切线定义． 图2-1 【学生】了解导数产生的背景 【教师】讲解导数的定义，并通过例题讲解介绍其应用 1．函数在一点处的导数 定义1 设函数在的某个邻域内有定义，当自变量x在点取得改变量（仍在该邻域内，且）时，相应有函数的改变量，若极限 （1） 存在，那么称函数在点处可导，且极限值称为函数在点的导数，记为，即 ， （2） 也可以记作 或． 导数定义公式（2）还可以有以下几种形式： ， ， ． 【学生】了解导数产生的背景 【教师】讲解导数的定义，并通过例题讲解介绍其应用 1．函数在一点处的导数 定义1 设函数在的某个邻域内有定义，当自变量x在点取得改变量（仍在该邻域内，且）时，相应有函数的改变量，若极限 （1） 存在，那么称函数在点处可导，且极限值称为函数在点的导数，记为，即 ， （2） 也可以记作 或． 由导数的定义可知，例1中提到的自由落体运动在时刻的速度实际就是在时的导数，因此 ． 故物体做自由落体运动在任意时刻的速度． 若极限式（2）不存在，则称函数在点处不可导，称为函数的不可导点；如果不可导的原因是式（2）的极限为，为方便起见，此时也称函数在处的导数为无穷大． 例3 已知常值函数（为常数），求，． 解 ． 这说明常数的导数等于零． 例4 设函数（n为正整数），求． 解 ． 2．左导数和右导数 如果极限 ， 存在，则