《高等数学（下册）》（阳平华）646-1教案 第8章 第3课 幂级数.doc

第 课 第 课 幂级数 3 幂级数 幂级数 第 课 3 PAGE 8 PAGE 8 PAGE 9 PAGE 9 幂级数 幂级数 第 课 3 课题 幂级数 课时 2课时（90 min） 教学目标 知识技能目标： （1）理解函数项级数、幂级数的基本概念和性质 （2）会求幂级数的收敛半径、收敛域 思政育人目标： 通过讲解幂级数的相关知识，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神 教学重难点 教学重点：幂级数的基本概念和性质 教学难点：幂级数的收敛半径、收敛域的求法 教学方法 讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法 教学用具 电脑、投影仪、多媒体课件、教材 教学设计 第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（33 min）→课堂测验（10 min） 第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min） 教学过程 主要教学内容及步骤 设计意图 第一节课 考勤（2 min） 【教师】清点上课人数，记录好考勤 【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况 知识讲解（33 min） 【教师】讲解函数项级数的概念 定义1 已知一个定义在区间上的函数列，由这个函数列构成的表达式 称为定义在区间上的函数项级数，记为． 定义2 对于区间内的一定点，若常数项级数收敛，则称点是级数的收敛点；若常数项级数发散，则称点是级数的发散点．函数项级数的所有收敛点的全体称为它的收敛域，所有发散点的全体称为它的发散域． 在收敛域上，函数项级数的和是的函数，通常称为函数项级数的和函数，即 ． 若函数项级数的前项的部分和记作，即 ， 则在收敛域上有． 例如，函数项级数的部分和函数为 ． 当时，，所以该级数在内收敛，即收敛域为，和函数为． 【学生】理解函数项级数的概念 【教师】讲解幂级数的概念及其收敛性，并通过例题介绍求幂级数的收敛半径、收敛域的方法 定义3 当函数项级数的各项都是幂函数，即时，级数 （8-2） 称为幂级数，记为，其中常数称为幂级数的系数． 幂级数是一种简单而常见的函数项级数，其一般形式为 （8-3） 作变换，幂级数（8-3）就转换成幂级数（8-2），故在以下的讨论中，只研究幂级数（8-2）的敛散性及其在收敛域上的性质． 以下是幂级数的两个例子： ， ． 定理1（阿贝尔定理） （1）如果级数在点收敛，则适合不等式的一切使这幂级数绝对收敛； （2）如果级数在点发散，则适合不等式的一切使这幂级数发散． 证明 （1）设是幂级数的收敛点，即级数收敛．根据级数收敛的必要条件，有，于是存在一个常数，使，这样级数的一般项的绝对值为 ． 因为当时，等比级数收敛，所以级数收敛，也就是级数绝对收敛． （2）用反证法证明．假设幂级数在点发散，有一点适合使级数收敛，则由定理1的（1）可知，当时级数应收敛，这与所设矛盾．定理得证． 定义4 由阿贝尔定理可以看出，必有一个完全确定的正数存在，使得 当时，幂级数绝对收敛； 当时，幂级数发散； 当时，幂级数可能收敛也可能发散． 这个确定的正数通常称为幂级数的收敛半径，开区间称为幂级数的收敛区间．再根据幂级数在处的收敛性就可以确定它的收敛域． 幂级数的收敛域是之一．若幂级数只在收敛，则规定收敛半径；若幂级数对一切实数都收敛，则规定收敛半径，这时收敛域为． 定理2 若幂级数的系数满足，则其收敛半径为 证明 因为，所以根据比值审敛法，有 （1）如果，则幂级数总是收敛的，故． （2）如果，则只当时幂级数收敛，故． （3）如果，则只当时幂级数收敛，故． 例1 求幂级数的收敛半径与收敛域． 解 因为 ， 所以收敛半径为，即收敛区间为． 当时，有，由于级数收敛，所以级数在时也收敛．因此，收敛域为． 例2 求幂级数的收敛半径与收敛域． 解 因为，所以收敛半径为． 当时，幂级数成为，是收敛的；当时，幂级数成为，是发散的．因此，收敛域为． （例3～例6详见教材） 【学生】理解幂级数的概念及其收敛性，学会求幂级数的收敛半径、收敛域 学习函数项级数的概念、幂级数及其收敛性。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化 课堂测验 （10 min） 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况 【学生】做测试题目 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧 通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象 第二节课 知识讲解（20 min） 【教师】讲解幂级数的运算性质，并通过例题讲解介绍其运算方法 设幂级数，分别在区间及内收敛，其