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第 课 微分中值定理
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微分中值定理 第 课
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微分中值定理
微分中值定理 第 课
100
课题
微分中值定理
课时
2课时(90 min)
教学目标
知识技能目标:
理解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及其应用。
思政育人目标:
通过学习罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及其应用,培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力
教学重难点
教学重点:罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的证明过程
教学难点:罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的应用
教学方法
讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法
教学用具
电脑、投影仪、多媒体课件、教材
教学设计
第1节课:考勤(2 min)→知识讲解(33 min)→课堂测验(10 min)
第2节课:知识讲解(25 min)→问题讨论(5 min)→课堂测验(10 min)→课堂小结(5 min)
教学过程
主要教学内容及步骤
设计意图
第一节课
考勤(2 min)
【教师】清点上课人数,记录好考勤
【学生】班干部报请假人员及原因
培养学生的组织纪律性,掌握学生的出勤情况
知识讲解(33 min)
【教师】讲解罗尔中值定理及其证明过程,并通过例题介绍其应用
费马引理 设在的某一邻域内有定义,且在点处可导,如果对任意的,都有或,则.
证明 不妨设时,(可以类似地证明).那么,当时有
,
当时有
.
由在处可导及函数极限的保号性得
,
,
所以.
费马引理的几何意义如图3-1所示:若曲线在点是局部最高点或局部最低点,则曲线在该点处必有水平切线.
定理1(罗尔中值定理) 设在上连续,在内可导,且,则至少存在一点,使得.
图3-1
证明 由于在上连续,根据闭区间上连续函数的最值定理可知,在上必有最大值和最小值.这样,有以下两种可能的情形:
(1)若在上,则在上为常数,函数在内任意点的导数为0;
(2)若,由于,与至少有一个值在内取得.现设(证法类似),则必存在一点,使(或).因此对任意,都有,由费马定理知.
罗尔定理的几何意义:对闭区间上的连续曲线,当两端点连线为水平直线时,在开区间内至少有一点具有水平切线,如图3-2所示.
图3-2
例1 验证函数在区间上满足罗尔定理的条件,并求点,使.
证明 因为是初等函数,所以在上连续,在内可导,且,故其满足罗尔定理的三个条件.
又因为,由得,,所以.
例2 证明的导函数有3个零点分别位于区间,,内.
证明 因为在R上连续可导,且,在区间,,上应用罗尔定理,存在,,,使得,,.所以,,是的三个零点.
【学生】理解罗尔中值定理
学习罗尔中值定理及其证明过程。边做边讲,及时巩固练习,实现教学做一体化
课堂测验
(10 min)
【教师】出几道测试题目,测试一下大家的学习情况
【学生】做测试题目
【教师】公布题目正确答案,并演示解题过程
【学生】核对自己的答题情况,对比答题思路,巩固答题技巧
通过测试,了解学生对知识点的掌握情况,加深学生对本节课知识的印象
第二节课
知识讲解(25 min)
【教师】讲解拉格朗日中值定理及其证明过程,并通过例题介绍其应用
定理2(拉格朗日中值定理) 设函数在上连续,在内可导,则至少存在一点,使得.
分析 如图3-3所示,拉格朗日中值定理实际是让我们证明曲线上存在一点,使其切线平行于,点所在直线,即
(),
.
图3-3
因此,只要证明在上满足罗尔中值定理条件,即可证明拉格朗日中值定理成立.
证明 易知,点所在直线方程为
.
令,
因为在上连续,在内可导,所以在上连续,在内可导,并且
所以,由罗尔中值定理知至少存在一点,使得.而
所以,即.
拉格朗日中值定理的几何意义:如果过连续曲线上除端点外的其他点有不垂直于x轴的切线,那么这条曲线上除端点外至少存在一点,使过该点的切线平行于区间两端点的连线.
显然,对于拉格朗日中值定理的条件,若进一步使得,则拉格朗日中值定理即为罗尔定理,这说明罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况.
例3 验证函数在区间上满足拉格朗日中值定理的条件,并求出定理中的.
证明 显然在上连续,在内可导,故其满足拉格朗日中值定理的条件.又因为
,
则,
解得,(舍去).
作为拉格朗日中值定理的应用有如下推论.
推论 若在区间I上的导数恒为零,则在区间I上是一个常数.
证明 在区间I上任取两点,(),应用拉格朗日中值定理得
.
假设,所以,而,在区间I上的选取是任意的,因此在区间I上是一个常数.
例4 证明,.
证明 设,则
,,
所以,.
又因为,所以,结论得证.
例5 证明当
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