《高等数学（上册）》（阳平华）645-4教案 第三章 第13课 函数的极值与最值.doc

13第 13 第 课 函数的极值与最值 函数的极值与最值 函数的极值与最值 第 课 13 PAGE 6 PAGE 6 PAGE 7 PAGE 7 函数的极值与最值 函数的极值与最值 第 课 13 课题 函数的极值与最值 课时 2课时（90 min） 教学目标 知识技能目标： （1）掌握函数极值的求法。 （2）掌握函数最值的求法，及其在实际问题中的应用。 思政育人目标： 通过学习函数极值和最值的求法，及其在实际问题中的应用，使学生体会到数学概念是源于实际生活的，数学与我们的生活是息息相关的；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的。 教学重难点 教学重点：函数极大值和极小值的定义、第一充分条件和第二充分条件 教学难点：函数极值的和最值的求法 教学方法 讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法 教学用具 电脑、投影仪、多媒体课件、教材 教学设计 第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（33 min）→课堂测验（10 min） 第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min） 教学过程 主要教学内容及步骤 设计意图 第一节课 考勤（2 min） 【教师】清点上课人数，记录好考勤 【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况 知识讲解（33 min） 【教师】讲解函数极值及求法，并通过例题介绍其应用 定义1 设函数在点的某个邻域内有定义，如果对任意的，有（或），则称是函数的极大值（极小值），称为极大值点（极小值点）． 函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点． 定理1（第一充分条件） 设函数在的某一邻域上连续，且在去心邻域内可导，则下列结论成立： （1）若时，，时，，则在点取得极大值； （2）若时，，时，，则在处取得极小值； （3）若时，为正（或为负），则在处不能取得极值． 例1 求函数的极值． 解 的定义域为，且时， ． 令，得驻点，是函数的不可导点，它们把定义域分成三部分，现列表做如下讨论，如表3-4所示． 表3-4 1 不存在 0 ↗ 0 ↘ ↗ 所以，极大值为，极小值为． 例2 求函数的极值． 解 的定义域为，且时 ． 显然，没有驻点，是函数的不可导点，它把定义域分成两部分，现列表做如下讨论，如表3-5所示． 表3-5 2 不存在 ↗ 1 ↘ 所以的极大值是，没有极小值． 如果函数在其驻点处存在二阶导数，且，我们可以利用下述定理判别函数在驻点处取得极值． 定理2（第二充分条件） 设函数在点有二阶导数，且，，则当时，函数在处取得极大值；当时，函数在处取得极小值． 证明 因为，所以若，由极限保号性知，存在的邻域，使时，．又因为，所以， 当时，，当时，，由定理1可知是的极大值点．同理可证，若，是的极小值点． 例3 求函数的极值． 解 的定义域为，且 ，． 令，得驻点，．又，，所以的极大值为，极小值为． 例4 求函数的极值． 解 的定义域是，在上存在任意阶导数，故其极值点只能在驻点取得．由，令，得驻点，，，． 由，可知 ，． 由定理2知，是极小值点，极小值为．由于，故定理2无法判别，是否是极值点．由可知的正负由决定，故时，在其邻域内所有点都使；时，在其邻域内所有点都使．由定理1可知，不是函数的极值点． 【学生】掌握函数极值及求法 学习函数极值及求法。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化 课堂测验 （10 min） 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况 【学生】做测试题目 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧 通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象 第二节课 知识讲解（20 min） 【教师】讲解函数的最大值与最小值，并通过例题介绍其应用 若函数在上连续，则在上一定能取得最大值与最小值． 函数的最值可能在区间的端点上取得，也可能在区间内部取得．如果最值点在区间的内部，则它必为极值点．因此，求闭区间上连续函数的最值可按下列步骤进行： （1）计算，找出函数在内所有的驻点和不可导点； （2）计算函数在驻点、不可导点和区间端点处的值； （3）将上述函数值进行比较，其中最大、最小者就是函数在区间上的最大、最小值． 例5 求函数在上的最大值与最小值． 解 ． 令，得驻点，由导数的定义知是函数的不可导点．由于，，，，所以函数在上的最大值是，最小值是． 在工农业生产和经济活动中，经常要解决诸如产品用料最省、成本最低、效益最大等问题，这类问题常可归结为求一个函数（也