《高等数学（上册）》（阳平华）645-4教案 第二章 第7课 求导法则与基本初等函数导数公式.doc

第 课 第 课 求导法则与基本初等函数导数公式 7 求导法则与基本初等函数导数公式 求导法则与基本初等函数导数公式 第 课 7 PAGE 10 PAGE 10 PAGE 9 PAGE 9 求导法则与基本初等函数导数公式 求导法则与基本初等函数导数公式 第 课 7 课题 求导法则与基本初等函数导数公式 课时 2课时（90 min） 教学目标 知识技能目标： （1）熟练掌握导数的四则运算法则。 （2）熟记16个基本初等函数导数公式 思政育人目标： 通过学习导数的四则运算法则和基本初等函数导数公式，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯 教学重难点 教学重点：导数的四则运算法则、基本初等函数导数公式 教学难点：利用初等函数导数公式求导 教学方法 讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法 教学用具 电脑、投影仪、多媒体课件、教材 教学设计 第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（33 min）→课堂测验（10 min） 第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min） 教学过程 主要教学内容及步骤 设计意图 第一节课 考勤（2 min） 【教师】清点上课人数，记录好考勤 【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况 知识讲解（33 min） 【教师】讲解导数的四则运算法则，并通过例题讲解介绍其应用 定理1（导数的四则运算法则） 设，在点可导，则它们的和、差、积、商（分母为0的点除外）都在点可导，且 （1）； （2）； （3）． 证明 首先我们看的导数，由定义可得 ． 所以可导，且 ． 再看的导数，由定义可得 ． 这里是由可导必连续得到，所以可导，且 ． 同理我们可证得也可导且 ． 公式中的，和，可简单表示为，，，． 定理1中的法则（1）、（2）可推广到任意有限个函数导数的运算．例如，若，，可导，则有，． 易知(为常数)． 例1 设，求及． 解 ， ． 例2 求函数的导数． 解 ． 例3 求函数的导数． 解 ． 同理可求得． 例4 求正割函数的导数． 解 ． 同理可求得． 利用导数的四则运算法则，可以得到如下基本初等函数的导数公式： ，， ，． 【学生】掌握导数的四则运算法则 【教师】讲解反函数的求导法则，并通过例题讲解介绍其应用 定理2（反函数导数运算性质） 若函数在区间上单调可导，则其反函数在区间内可导，且 ，即． 证明 定理的条件已保证反函数存在，且在区间内单调、连续．，给以增量，由的单调性知 ， 于是有，所以 ． 定理2可简单叙述成：反函数的导数等于原函数导数的倒数． 例5 求正弦函数的反函数的导数． 解 由于在上单调可导，由定理2可知 ． 因为，，所以，所以 ． 同理可证余弦函数的反函数的导数为 ． 例6 求正切函数的反函数的导数． 解 因为正切函数在上单调可导，由定理2可知 ． 同理可证余切函数的反函数的导数为 ． 由于指数函数与对数函数互为反函数，且，利用定理2可求得的导数为 ． 【学生】理解反函数的求导法则 学习导数的四则运算法则、反函数的求导法则。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化 课堂测验 （10 min） 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况 【学生】做测试题目 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧 通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象 第二节课 知识讲解（20 min） 【教师】讲解复合函数的求导法则，并通过例题讲解介绍其应用 定理3（复合函数导数的运算法则） 设函数在点处可导，在对应点处可导，则复合函数在点处可导，且有 或 ． 证明 因为函数是由，复合而成的，在点可导，在对应的点可导，则有，，，，这样我们可得复合函数的导数公式 或 ． 定理3也称为复合函数求导的链式法则．本法则可推广到求多个函数复合而成的复合函数的导数．例如，函数在点处可导，在对应点处可导，在对应点处可导，则复合函数在点处可导，且有 ． 例7 设，证明幂函数的导数公式(为常数)． 证明 ，显然是由，复合而成的，因为在点可导，在点可导，由定理3可知 ． 因此，所有有理指数的幂函数均可求导，如． 例8 ，求． 解 是由，复合而成的，所以 ． 例9 ，求． 解 是由，复合而成的，所以 ． 当复合函数中间变量有多个时，求复合函数导数时，按中间变量顺序依次求导即可． 例10 ，求． 解 是由，，复合而成的，所以 ． 例11 ，求． 解 是由复合而成的，所以 ． 当求导熟练以后，则可不必写出中间变量