《高等数学（下册）》（阳平华）646-1教案 第8章 第5课 函数幂级数展开式的应用、傅里叶级数.doc

第 课 第 课 函数幂级数展开式的应用、傅里叶级数 5 函数幂级数展开式的应用、傅里叶级数 函数幂级数展开式的应用、傅里叶级数 第 课 5 PAGE 10 PAGE 10 PAGE 11 PAGE 11 函数幂级数展开式的应用、傅里叶级数 函数幂级数展开式的应用、傅里叶级数 第 课 5 课题 函数幂级数展开式的应用、傅里叶级数 课时 2课时（90 min） 教学目标 知识技能目标： （1）理解函数的幂级数展开式在近似计算、积分计算、欧拉公式等方面的应用 （3）了解三角函数系的正交性、傅立叶级数的概念、傅立叶级数收敛的定理 思政育人目标： 通过讲解初等函数的幂级数展开的相关知识，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神 教学重难点 教学重点：三角函数系的正交性、傅立叶级数的概念、傅立叶级数收敛的定理 教学难点：函数的幂级数展开式在近似计算、积分计算、欧拉公式等方面的应用 教学方法 讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法 教学用具 电脑、投影仪、多媒体课件、教材 教学设计 第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（33 min）→课堂测验（10 min） 第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min） 教学过程 主要教学内容及步骤 设计意图 第一节课 考勤（2 min） 【教师】清点上课人数，记录好考勤 【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况 知识讲解（23 min） 【教师】通过例题讲解函数值的近似计算 例1 计算的近似值，要求误差不超过． 解 因为 ， 在上述二项展开式中取，，可得 ． 这个级数收敛很快．取前两项的和作为的近似值，其误差（也称为截断误差）为 ． 于是取近似式为 ． 为了使“四舍五入”引起的误差（称为舍入误差）与截断误差之和不超过，计算时应取五位小数，然后四舍五入．因此最后得 ． 例2 计算的近似值，要求误差不超过0.000 1． 解 在上节例5中，令可得 ． 如果取这级数前项和作为的近似值，其误差为 ． 为了保证误差不超过，就需要取级数的前10 000项进行计算．这样做计算量太大，我们必须用收敛较快的级数来代替它． 把展开式 中的换成，得 ， 两式相减，得到不含有偶次幂的展开式 ． 令，解出．以代入最后一个展开式，得 ， 如果取前四项作为的近似值，则误差为 ． 于是取． 同样地，考虑到舍入误差，计算时应取五位小数，即 ，，，． 因此得 ． 【学生】理解函数值的近似计算 【教师】通过例题讲解定积分的近似计算 例3 计算积分 的近似值，要求误差不超过0.000 1． 解 由于，因此所给积分不是反常积分．如果定义被积函数在处的值为1，则它在积分区间上连续． 展开被积函数，有 ． 在区间上逐项积分，得 ． 因为第四项 ， 所以取前三项的和作为积分的近似值，即 ． 【学生】理解定积分的近似计算 【教师】讲解欧拉公式 设有复数项级数 ， 其中，为实常数或实函数．如果实部所成的级数 收敛于和，并且虚部所成的级数 收敛于和，就说复数项级数收敛，且和为． 如果级数各项的模所构成的级数收敛，则称级数绝对收敛． 考察复数项级数 ． 可以证明此级数在复平面上是绝对收敛的，在轴上（）它表示指数函数，在复平面上我们用它来定义复变量指数函数，记为，即 ． 当时，，于是 ? ? ?． 把换成得 ， 这就是欧拉公式． 复数可以表示为指数形式，即 ， 其中，，是的模；，是的辐角． 因为，，所以 ，， 即 ， 这两个式子也称为欧拉公式． 【学生】理解欧拉公式的推导 学习函数幂级数展开式的应用。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化 课堂测验 （10 min） 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况 【学生】做测试题目 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧 通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象 第二节课 知识讲解（20 min） 【教师】讲解三角级数及三角函数系的正交性，并通过例题讲解介绍其运算方法 由 （8-7） 组成的函数序列称为三角函数系． 三角函数系（8-7）中任何两个不同函数的乘积在区间上的积分等于零，即 ， ， ， ， ． 下面以第五个等式为例进行验证，其余等式读者可自行验证．根据三角函数中积化和差公式，有 ， 当时，有