《高等数学（下册）》（阳平华）646-1教案 第9章 第7课 空间直角坐标系及向量坐标.doc

第 课 第 课 空间直角坐标系及向量坐标 7 空间直角坐标系及向量坐标 空间直角坐标系及向量坐标 第 课 7 PAGE 8 PAGE 8 PAGE 11 PAGE 11 空间直角坐标系及向量坐标 空间直角坐标系及向量坐标 第 课 7 课题 空间直角坐标系及向量坐标 课时 2课时（90 min） 教学目标 知识技能目标： （1）理解空间直角坐标系 （2）掌握向量的坐标表示和向量线性运算的坐标表示 （3）掌握向量的模与两点间的距离公式，方向角与方向余弦，向量在轴上的投影 思政育人目标： 通过学习空间直角坐标系及向量坐标，引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神 教学重难点 教学重点：向量线性运算的坐标表示 教学难点：方向角与方向余弦 教学方法 讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法 教学用具 电脑、投影仪、多媒体课件、教材 教学设计 第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（33 min）→课堂测验（10 min） 第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min） 教学过程 主要教学内容及步骤 设计意图 第一节课 考勤（2 min） 【教师】清点上课人数，记录好考勤 【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况 知识讲解（33 min） 【教师】讲解空间直角坐标系 在平面解析几何中，通过建立平面直角坐标系，把平面上的点与二元有序实数组对应起来．同样，在空间解析几何中，通过建立空间直角坐标系，也可以把空间的点与三元有序实数组对应起来． 如图9-8所示，过空间一定点，作三个两两垂直的单位向量，就确定了三条都以为原点的两两垂直的数轴，依次记为轴（横轴）、轴（纵轴）、轴（竖轴），统称为坐标轴．它们构成一个空间直角坐标系，称为坐标系或坐标系．通常把轴和轴配置在水平面上，而轴则是铅垂线，它们的正向符合右手规则，即以右手握住轴，当右手的四个手指从正向轴以角度转向正向轴时，大拇指的指向就是轴的正向． 三条坐标轴中每两条坐标轴所在的平面称为坐标面，分别为面、面、面．如图9-9所示，三个坐标面把空间分成八个部分，每个部分称为一个卦限，其中含轴、轴与轴正半轴的部分为第Ⅰ卦限；第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限在面的上方，按逆时针方向确定；第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限在面下方，第Ⅰ卦限正下方为第Ⅴ卦限，其余按逆时针方向确定． 图9-8 图9-9 【学生】理解空间直角坐标系 【教师】讲解向量的坐标表示 如图9-10所示，设为空间一点，过点分别作垂直于轴、轴、轴的平面，它们与轴、轴、轴分别交于三点，这三个点在轴、轴、轴上的坐标分别为，这样就确定了空间点的唯一一个三元有序实数组．反之，若给定一个三元有序实数组，分别在轴、轴、轴找到坐标分别为的三点，过这三点分别作垂直于轴、轴、轴的平面，这三个平面有唯一交点，于是就建立了空间点和三元有序实数组之间的一一对应关系．这组数称为点的坐标，记为，并依次称和为点的横坐标、纵坐标和竖坐标． 图9-10 记，则 ， 因为，则 ． 上式称为向量的坐标分解式，分别称为向量沿轴、轴、轴方向的分向量．三元有序实数组称为向量在坐标系中的坐标，记作． 向量称为点关于原点的向径．上述定义表明，一个点与该点的向径有相同的坐标．三元有序实数组既表示点的坐标，又表示向量的坐标． 所以，点、向量与三元有序实数组之间有一一对应关系，即 ． 【学生】掌握向量的坐标表示 【教师】讲解向量线性运算的坐标表示，并通过例题介绍其应用 设，即，利用向量的运算律，有 ， ， ， 即 ， ， ． 由此可见，对向量进行加、减及数乘，只需对向量的各个坐标分别进行相应的运算即可． 定理1指出，当向量，向量的充分必要条件是：存在唯一的实数，使，坐标表示为 ， 即向量与对应的坐标成比例为 ． 例1 求解以向量为未知元的线性方程组其中，． 分析 类似于解二元一次方程组，先求出未知元向量，再运用向量运算律求解． 解 由线性方程组可得，． 以的坐标表示式代入，即得 ， ． 例2 已知点和以及实数，在直线上求一点，使． 分析 解题时把点的坐标看成以坐标原点为起点的向量（向径）坐标． 解 如图9-11所示，，，由题意知，因为，从而 ??， 这就是所求点的坐标． 图9-11 本例中的点称为有向线段的定比分点．当时，可得有向线段的中点坐标，即 ． 注：三元有序实数组既可表示点，又可表示向量，所以求点的坐标，就是求向量的坐标．但在几何上，点与向量是两个不同的概念，不可混淆．当表示向量时，可对它进行运算，但当表示点时，则不能进行运算． 【学