《高等数学（上册）》（阳平华）645-4教案 第一章 第5课 函数的连续性、闭区间上连续函数的性质.doc

第 课 第 课 函数的连续性、闭区间上连续函数的性质 5 函数的连续性、闭区间上连续函数的性质 函数的连续性、闭区间上连续函数的性质 第 课 5 PAGE 2 PAGE 2 PAGE 11 PAGE 11 函数的连续性、闭区间上连续函数的性质 函数的连续性、闭区间上连续函数的性质 第 课 5 课题 函数的连续性、闭区间上连续函数的性质 课时 2课时（90 min） 教学目标 知识技能目标： （1）掌握连续函数的概念。 （2）能够判断函数的间断点，熟悉间断点的分类。 （3）理解初等函数的连续性，能够计算函数的连续区间. （4）理解闭区间上连续函数的性质。 思政育人目标： 通过与实际现象联系，帮助学生理解函数的连续性，使学生体会到数学是源于生活的，是对实际问题的抽象产生的，不是脱离实际生活的；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力 教学重难点 教学重点：连续函数的概念、函数在某点连续性的判断 教学难点：计算函数的连续区间 教学方法 讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法 教学用具 电脑、投影仪、多媒体课件、教材 教学设计 第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（35 min）→问题讨论（10 min） 第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min） 教学过程 主要教学内容及步骤 设计意图 第一节课 考勤（2 min） 【教师】清点上课人数，记录好考勤 【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况 知识讲解（35 min） 【教师】讲解连续函数的概念，并通过例题讲解介绍其应用 案例［平面内曲线］ 在坐标平面内画一连续曲线，如图1-27所示．在坐标平面内画一间断曲线，如图1-28所示． 图1-27 图1-28 分析 对比两个图形，我们发现：对于，当自变量x的改变量时，函数相应的改变量，如图1-27所示；对于，当自变量x的改变量时，函数相应的改变量不能够无限变小，如图1-28所示．于是我们可以用增量来定义函数的连续性． 定义1 设函数在点的某个邻域内有定义，如果 ， 则称函数在点处连续． 若记，则，相应地函数的增量．当，即时，，，也即． 因此，函数在点处连续的定义也可表述如下： 定义1 设函数在点的某一个邻域内有定义，若，则称函数在点连续． 由函数在点连续的定义可知，函数在点连续，必须同时满足下面三个条件： （1）在点有定义； （2）极限值存在； （3）极限值恰好等于在该点的函数值，即． 若存在且等于，则称函数在点右连续；若存在且等于，则称函数在点左连续． 定理1 函数在点连续函数在点左右连续． 例1 证明函数在处连续． 证明一 的定义域为R，所以在的某邻域有定义． 当自变量在处有改变量时， ， 因此，，所以在处连续． 证明二 的定义域为R，所以在的某邻域有定义， ， 即时的极限值为2．而，即极限值等于函数在该点的函数值，所以在处连续． 例2 讨论函数在点的连续性． 解 因为 ， ， 所以在点左右连续，故在点处连续． 函数在一点连续的定义，可以推广到区间上． 定义2 如果一个函数在某区间内的每一点处都连续，则称这个函数在区间内连续，或称其为区间内的连续函数．如果函数在内连续，且a点右连续，b点左连续，则称函数在闭区间上连续． 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线． 【学生】掌握连续函数的概念 【教师】讲解函数间断点的分类，并通过例题讲解介绍其应用 如果在点处不连续，则称点是函数的间断点． 由在处连续的定义知，如果在处有以下三种情况之一，则在处间断： （1）在点处无定义； （2）时不存在； （3）函数值和极限值都存在，但． 例如，函数在点处没有定义，就是函数的一个间断点．如果不考虑函数在是否有定义，那我们可以将函数的间断点分为以下两大类． 设函数在点处间断，但在点的左右极限与均存在，则称为的第一类间断点，其中： （1）若，即极限存在，则称点是的可去间断点． （2）若，即极限不存在，则称点是的跳跃间断点． 设函数在点处间断，若在点的左右极限与至少有一个不存在，则称为的第二类间断点，其中： （1）若与至少有一个为无穷大，则称点是的无穷间断点． （2）若振荡性地不存在，则称点是的振荡间断点． 例3 函数在点处有定义，且．但由于，，，故是函数的可去间断点，如图1-29所示． 但如果将函数在的定义改为，则函数在点连续．由此可见，如果函数在点是可去间断点，可通过补充或改变在点的函数值，使在点连续． 例4 符号函数在点处有定义，且．但由