《高等数学（上册）》（阳平华）645-4教案 第二章 第9课 函数的微分及其应用.doc

第 课 第 课 函数的微分及其应用 9 函数的微分及其应用 函数的微分及其应用 第 课 9 PAGE 12 PAGE 12 PAGE 11 PAGE 11 函数的微分及其应用 函数的微分及其应用 第 课 9 课题 函数的微分及其应用 课时 2课时（90 min） 教学目标 知识技能目标： （1）理解函数微分的概念，及其几何意义。 （2）掌握基本初等函数的微分与函数微分的运算法则。 （3）掌握微分在近似运算中的应用。 思政育人目标： 由具体问题引出微分的定义，使学生体会到数学是源于生活的，是对实际问题的抽象产生的，不是脱离实际生活的；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的。 教学重难点 教学重点：函数微分的概念、函数微分的运算法则 教学难点：微分在近似运算中的应用 教学方法 讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法 教学用具 电脑、投影仪、多媒体课件、教材 教学设计 第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（33 min）→课堂测验（10 min） 第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min） 教学过程 主要教学内容及步骤 设计意图 第一节课 考勤（2 min） 【教师】清点上课人数，记录好考勤 【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况 知识讲解（33 min） 【教师】讲解微分的定义 例1 一块正方形金属薄片，由于温度的变化，其边长由变为，如图2-4所示，此时薄片的面积改变了多少？ 图2-4 解 设此薄片的边长为，面积为，则． 当自变量在有改变量时，相应的面积函数有改变量，则 ． 从图中可以看出，由两部分组成：一部分是（的线性函数），为图中两个矩形的面积，它是的主要组成部分（很小时）；另一部分是，为图中小正方形的面积，当很小时，这部分可以忽略不计（是的高阶无穷小）．所以，当很小时， ． 这表明，正方形金属薄片面积的改变量可近似地用的线性函数部分来代替，其误差是的高阶无穷小．由此产生了微分概念． 定义1 设函数在内有定义，为自变量改变量，和都在内，若产生的函数改变量可以表示成（是不依赖于的常数），即可用的线性函数加的高阶无穷小量表示，则称函数在点可微．称为函数在点相应于的微分，记作，即． 一般来说，如果在点可微，则存在常数，使 ， 这样就有．令，得，所以，．故若在点可微，则在点一定可导，且． 反之，若在点可导，则 ， （其中是的无穷小量）， ． 所以，在点一定可微． 因此，有如下定理． 定理1 设函数在内有定义，则在点处可微的充要条件是在点处可导，且 ． 定理表明，函数在点处的可微性与可导性是等价的．因此，可导函数也称为可微函数．函数在任意点处的微分称为函数的微分，记作或，即 ． 当时，，即．因此，可看成自变量本身的微分，因此，函数的微分又可写成，从而，有 ． 因此，导数也称为微商． 按以上结果可以得到： （1）微分计算与导数计算的本质相同； （2）导数记号就是微分的商； （3）前面讨论的复合函数求导法则及参变量函数的导数公式 均是微分的代数恒等式． 例1 求函数在和点处的微分． 解 函数在处的微分 ． 函数在点处微分 ． 例2 分别求函数，，的微分． 解 函数的微分 ； 函数微分 ； 函数微分 ． 【学生】理解微分的定义 【教师】讲解微分的几何意义 如图2-5所示，设函数在点处可微，在直角坐标系中，是曲线在点处的切线．对于可微函数来说，当是曲线在点和点纵坐标的增量时，函数在的微分就是曲线在点处的切线在点和点纵坐标的增量，这就是微分的几何意义． 图2-5 由微分的定义和几何意义可以看出：当很小时，．在几何上就是函数曲线在局部可用函数的切线段近似代替，这种表示称为非线性函数的局部线性表示．这是微积分学的基本思想方法之一，这种思想方法在自然科学和工程问题的研究中被经常采用． 上述思想方法，在几何上看就是：在邻近用切线段近似代替曲线段，我们称之为“局部以直代曲”． 【学生】理解微分的几何意义 学习微分的定义和几何意义。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化 课堂测验 （10 min） 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况 【学生】做测试题目 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧 通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象 第二节课 知识讲解（20 min） 【教师】讲解基本初等函数的微分与函数微分的运算法则，并