《高等数学（上册）》（阳平华）645-4教案 第三章 第12课 函数的单调性与凹凸性.doc

12第 12 第 课 函数的单调性与凹凸性 函数的单调性与凹凸性 函数的单调性与凹凸性 第 课 12 PAGE 10 PAGE 10 PAGE 9 PAGE 9 函数的单调性与凹凸性 函数的单调性与凹凸性 第 课 12 课题 函数的单调性与凹凸性 课时 2课时（90 min） 教学目标 知识技能目标： （1）掌握函数单调性的判断 （2）掌握曲线凹凸性、凹凸区间和拐点的判定。 思政育人目标： 通过观察图形得出函数单调性和凹凸性的判定定理，使学生养成通过仔细观察、总结规律、得出结论来解决问题的习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神。 教学重难点 教学重点：函数单调性定理，凹凸性和拐点的定义 教学难点：函数单调性的判断 教学方法 讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法 教学用具 电脑、投影仪、多媒体课件、教材 教学设计 第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（33 min）→课堂测验（10 min） 第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min） 教学过程 主要教学内容及步骤 设计意图 第一节课 考勤（2 min） 【教师】清点上课人数，记录好考勤 【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况 知识讲解（33 min） 【教师】讲解函数单调性的判别法，并通过例题介绍其应用 如果函数在上单调增加或单调减少，那么它的图形是沿着x轴正向上升或下降的曲线．这时曲线上各点的切线斜率是非负的或非正的，即，如图3-4（a）所示，或，如图3-4（b）所示．由此可见，函数的单调性与导数的符号有密切的联系． （a） （b） 图3-4 定理1 设函数在上连续，在内可导，则下列结论成立： （1）若在内，则在上单调递增； （2）若在内，则在上单调递减． 例1 判定函数在的单调性． 解 因为在上，，所以在上是单调递增的．函数的图像如图3-5所示． 例2 讨论函数的单调性． 解 函数定义域为．当时，；当时，函数导数不存在．由于在内，在内，所以在内是单调递减的，在上是单调递增的．函数的图像如图3-6所示． 图3-5 图3-6 由例1、例2可以看出，函数单调区间发生改变的分界点一般为导数为0的点或导数不存在的点．因此，讨论函数的单调性，只要求出函数导数为0的点和导数不存在的点，利用这些点把函数的定义域分成几个区间，就可在每个区间上判断函数的单调性． 例3 确定函数的单调区间． 解 函数定义域为， ． 令，有，得或．，把函数定义域分成三个区间，，，且在区间内，在区间内，在区间内． 因此，函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．函数的图像如图3-7所示． 图3-7 例4 确定函数的单调区间． 解 函数的定义域为．由于 ， 所以时，函数的导数为0；时，函数导数不存在．函数导数为0点与导数不存在的点将函数的定义域分成三个区间，，，且当时，；当时，；当时，．因此，在上单调减少，在上单调减少，在上单调递增．函数的图像如图3-8所示． 图3-8 结论 一般地，如果函数在某区间的有限个点导数为0或导数不存在，在其余点的导数均为正（或负），则在该区间上仍是单调递增（或递减）的． 利用函数的单调性，还可证明一些不等式． 例5 证明不等式． 证明 设，则在上连续且可导， ， 因此在单调递增，故，即，所以 ． 【学生】掌握函数单调性的判别法 学习函数单调性的判别法。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化 课堂测验 （10 min） 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况 【学生】做测试题目 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧 通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象 第二节课 知识讲解（20 min） 【教师】讲解函数的凹凸性与拐点，并通过例题讲解介绍其应用 函数的单调性反映了函数曲线在区间上的递增或递减情况，但它不能反映函数曲线在这一区间上的弯曲方向．如图3-9所示，函数曲线，在上都是递增的，但弯曲方向不同，曲线是“上凸”的，曲线是“下凹”的，下面给出描述曲线弯曲方向的曲线凹凸性定义． 图3-9 定义1 设函数在区间上连续，若对，恒有 ，那么称在区间上的图形是凹的；若恒有 ，那么称在区间上图形是凸的． 定义1的实际意义是：在区间上函数曲线任意两点间的部分，若位于这两点连线下方，则曲线是凹的；若位于这两点连线上方，则曲线