《高等数学（上册）》（阳平华）645-4教案 第三章 第14课 函数图形的描绘、曲率.doc

14第 14 第 课 函数图形的描绘、曲率 函数图形的描绘、曲率 函数图形的描绘、曲率 第 课 14 PAGE 4 PAGE 4 PAGE 5 PAGE 5 函数图形的描绘、曲率 函数图形的描绘、曲率 第 课 14 课题 函数图形的描绘、曲率 课时 2课时（90 min） 教学目标 知识技能目标： （1）掌握曲线渐近线的求法。 （2）掌握描绘函数图形的一般步骤。 （3）理解曲线弧微分的求法。 （4）掌握曲率的概念及计算公式。 思政育人目标： 通过学习函数图形的描绘及曲率，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的。 教学重难点 教学重点：函数图形的描绘步骤，曲率的概念 教学难点：曲线渐近线的求法，曲线弧微分的求法 教学方法 讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法 教学用具 电脑、投影仪、多媒体课件、教材 教学设计 第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（33 min）→课堂测验（10 min） 第2节课：知识讲解（30 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min） 教学过程 主要教学内容及步骤 设计意图 第一节课 考勤（2 min） 【教师】清点上课人数，记录好考勤 【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况 知识讲解（33 min） 【教师】讲解曲线的渐近线，并通过例题介绍其求法 定义1 如果曲线上的点沿曲线无限远离原点时，点到一条直线的距离趋近于0，则这条直线就称为曲线的渐近线． 渐近线反映了曲线在无限延伸时的变化情况．渐近线可分为三类：水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线．下面给出这三种渐近线的求法． 水平渐近线：若，则是曲线的水平渐近线． 例如，是曲线的水平渐近线，因为，． 垂直渐近线：若，则是曲线的垂直渐近线． 例如，是曲线的垂直渐近线，因为，． 斜渐近线：若直线是曲线的斜渐近线，则有 （点到直线距离公式）． 从而，，这样有，即，所以，．而由，又得．因此，求曲线的斜渐近线，可通过公式，求出k，b． 例如，设曲线斜渐近线为，那么有 ，， 所以是曲线的斜渐近线． 例1 求曲线的渐近线． 解 因为 ， 所以．故无水平渐近线． 又因为 ， 所以 ，． 由此可知，是曲线垂直渐近线． 对于斜渐近线，则有 ， ， 所以是曲线的斜渐近线． 曲线的图像如图3-11所示． 图3-11 一般来说，函数曲线的垂直渐近线都在函数无定义点取得． 【教师】讲解函数图形的描绘，并通过例题介绍其应用 函数图形描绘的一般步骤如下． 第一步：根据函数的表达式，求函数的定义域和值域，判断函数的奇偶性与周期性，并求出函数的一阶导数和二阶导数． 第二步：求出满足，的所有点和所有，不存在的点，通过把这些点由小到大排列，将函数定义域分为以这些点为端点的若干个区间． 第三步：确定在这些区间内与的符号，并给出单调区间、凹凸区间、极值点和拐点． 第四步：求函数曲线的渐近线，确定函数图像的延伸状态． 第五步：在坐标上标出，为0的点和不可导点的位置，为了使描图更准确，有时还要补充一些辅助点作图（如特殊点、端点和反映曲线延展的点）． 第六步：根据第三、第四步得到结果，用平滑曲线连接各点作出函数曲线图形． 例2 描绘函数的图形． 解 （1）函数定义域为． （2）时，，；时，，不存在．令，得驻点，；，即二阶导数无0点． ，，将分为四个区间，，，． （3）在内，，，函数是递增凸的；在内，，，是递减凸的；在内，，是递减凹的；在内，，是递增凹的，如表3-6所示． 表3-6 1 3 0 不存在 0 不存在 图形 递增凸 极大值 递减凸 拐点 递减凹 极小值 递增凹 （4）求渐近线． ，是垂直渐近线； 不存在，无水平渐近线，并且 ， ， 所以，是斜渐近线． 综合以上结果，可画出函数图形，如图3-12所示． 图3-12 【学生】掌握函数图形的描绘 学习曲线的渐近线和函数图形的描绘。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化 课堂测验 （10 min） 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况 【学生】做测试题目 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧 通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象 第二节课 知识讲解（30 min） 【教师】讲解弧微分的概念，并通过例题介绍其应用 如图3-13所示，设在内有连续导数． 图3-13 在曲线上取定点A作为度量弧长的起点，并规定依x增大的方向为弧的正向，设为曲线上任一点，s表示曲线的弧长．显然，弧长s由确定，因此s是x的函数，记为，下面我们用函数表示弧长s的微分．给定x的增量