《高等数学（上册）》（阳平华）645-4教案 第四章 第15课 不定积分的概念与性质.doc

15第 15 第 课 不定积分的概念与性质 不定积分的概念与性质 不定积分的概念与性质 第 课 15 PAGE 8 PAGE 8 PAGE 9 PAGE 9 不定积分的概念与性质 不定积分的概念与性质 第 课 15 课题 不定积分的概念与性质 课时 2课时（90 min） 教学目标 知识技能目标： （1）理解原函数与不定积分的概念及其相互关系。 （2）理解不定积分的几何意义。 （3）理解不定积分的基本性质。 （4）熟记基本积分公式。 思政育人目标： 通过引例，引出原函数和不定积分的概念，通过图形介绍不定积分的几何意义，使学生体会到数学是源于生活的；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力。 教学重难点 教学重点：不定积分的概念和基本性质，不定积分的基本公式 教学难点：不定积分的几何意义 教学方法 讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法 教学用具 电脑、投影仪、多媒体课件、教材 教学设计 第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（33 min）→课堂测验（10 min） 第2节课：知识讲解（30 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min） 教学过程 主要教学内容及步骤 设计意图 第一节课 考勤（2 min） 【教师】清点上课人数，记录好考勤 【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况 知识讲解（33 min） 【教师】讲解原函数与不定积分的概念，并通过例题介绍其应用 在运动学中常常会遇到相反的问题，即已知变速直线运动的质点在时刻的瞬时速度 ， 求质点的位移函数 ， 即已知函数的导数，求原来的函数．这种问题在自然科学和工程技术问题中都普遍存在．为了便于研究，引入以下定义． 定义1 如果在区间上，可导函数的导数为，即对任意，都有 或， 那么函数就称为在区间I上的原函数． 例如，因在变速直线运动中，，所以位移函数是速度函数的原函数．再如，因，所以是在上的一个原函数；因，所以是在上的一个原函数． 一个函数具备什么样的条件，才一定存在原函数呢？下面给出一个定理． 定理 如果函数在区间I上连续，那么在区间I上一定存在可导函数，使对任意都有 ． 简言之，连续函数一定有原函数．由于初等函数在其定义区间上都是连续函数，所以初等函数在其定义区间上都有原函数． 定义2 设是函数定义在区间I上的原函数，则函数的所有原函数称为在区间上的不定积分，记作 ． 其中，记号称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量． 例1 求函数的不定积分． 解 因为，即是的一个原函数，所以 ． 例2 求函数的不定积分． 解 因为，即是的一个原函数，所以 ． 例3 求函数的不定积分． 解 当时，，所以 ． 当时，，所以 ． 综上所述，得到． 【学生】掌握常微分方程的基本概念 【教师】讲解不定积分的几何意义，并通过例题介绍其应用 当积分常数C取不同值时，函数的所有原函数的图形为一族曲线，称为的积分曲线族．这族曲线可以由其中的任意一条曲线沿y轴方向上下平移而得到，且对应同一横坐标的点x处的切线互相平行，如图4-1所示． 图4-1 例4 设曲线通过点且其上任意一点处的切线斜率为，求此曲线的方程． 解 设所求的曲线方程为，按题设，曲线上任意一点处的切线斜率为 ， 即是的一个原函数，因为，所以曲线方程为 ， 将，代入，得． 因此，所求曲线方程为 ． 例5 在自由落体运动中，已知物体下落的时间为，求时刻的下落速度和下落距离． 解 设时刻的下落速度为，则加速度（其中g为重力加速度）． 因此 ， 当时，，所以．于是下落速度． 设下落距离为，则．所以 ， 当时，，所以．于是下落距离． 【学生】理解不定积分的几何意义 学习原函数与不定积分的概念，不定积分的几何意义。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化 课堂测验 （10 min） 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况 【学生】做测试题目 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧 通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象 第二节课 知识讲解（30 min） 【教师】讲解不定积分的基本性质 由不定积分的定义可直接推出下列性质： 性质1 （1）或； （2）或． 【教师】讲解不定积分的基本积分公式，并通过例题介绍其应用 由此可见，微分运算与求不定积分的运算互为逆运算． 根据这一性质，我们把基本导数公式表加以逆推便可得到基本积分公式． （1）(k是常数)； （2）； （3）；（4）； （5）；（6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）；