《高等数学(上册)》(阳平华)645-4教案 第五章 第21课 二阶常系数线性微分方程.doc

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21第 21 第 课 二阶常系数线性微分方程 二阶常系数线性微分方程 二阶常系数线性微分方程 第 课 21 PAGE 2 PAGE 2 PAGE 3 PAGE 3 二阶常系数线性微分方程 二阶常系数线性微分方程 第 课 21 课题 二阶常系数线性微分方程 课时 2课时(90 min) 教学目标 知识技能目标: (1)掌握二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法。 (2)掌握二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法。 思政育人目标: 通过学习二阶常系数线性微分方程的解法,培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力;引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯;树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神。 教学重难点 教学重点:二阶常系数线性微分方程的概念 教学难点:二阶常系数线性微分方程的解法 教学方法 讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法 教学用具 电脑、投影仪、多媒体课件、教材 教学设计 第1节课:考勤(2 min)→知识讲解(33 min)→课堂测验(10 min) 第2节课:知识讲解(20 min)→问题讨论(10 min)→课堂测验(10 min)→课堂小结(5 min) 教学过程 主要教学内容及步骤 设计意图 第一节课 考勤 (2 min) 【教师】清点上课人数,记录好考勤 【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组织纪律性,掌握学生的出勤情况 知识讲解 (33 min) 【教师】讲解二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法,并通过例题介绍其应用 由上节课学习的定理2知,要解出方程(5-28)的通解,只要找出其两个线性无关的特解即可.由于方程(5-28)的左端是,及的线性关系式,且,都是常数,要使,,三项之和为零,那么,,应该是同一类型的函数.而指数函数与其各阶导数只相差一个常数因子,因此可猜想方程(5-28)具有(为待定常数)形式的解.下面将代入方程(5-28),看看应该满足什么条件. 对求一阶、二阶导数得 ,, 把,,代入方程(5-28)得 , 由于,故有 . (5-29) 这表明,只要是代数方程(5-29)的根,那么就是微分方程(5-28)的解.代数方程(5-29)称为微分方程(5-28)的特征方程,特征方程的根称为特征根.这样就把求微分方程解的问题转化为求特征方程根的问题. 根据特征方程(5-29)的根 有相异实根、重根、共轭复根3种情形,现分别进行如下讨论. (1)当时,特征方程有两个相异的实根,此时微分方程(5-28)对应的两个特解为.因为 不是常数,故,线性无关,方程(5-28)的通解为 . (2)当时,特征方程有两个相等的实根,记为,这时可得方程(5-28)的一个特解.但还需要再找另一个与线性无关的特解,即常数.故可设,其中为待定函数. 假设是方程(5-28)的解,且 , , 将代入方程(5-28),可得 . 因为,故有 , 又因为为特征根,即 ,, 故有. 简单起见,取特解,则是方程(5-28)的与线性无关的一个特解,故方程(5-28)的通解为 (为任意常数). (3)当时,特征方程(5-29)有一对共轭复根,设为 其中,这时微分方程(5-28)有两个复数解,即 . 而实际常用的是实数形式的解,因此还需对上述两个特解做一些处理.应用欧拉公式,可将变形为为 , . 记,,由5.4节的定理1知都是微分方程(5-28)的解,且 , 不是常数,故和线性无关,因此方程(5-28)的通解为 . 综上所述,求解二阶常系数齐次线性方程通解的步骤及结论如下: (1)写出对应的特征方程; (2)求出特征方程的根; (3)根据两个特征根的不同情形,写出微分方程(5-28)的通解,如表5-1所示. 表5-1 特征方程的根 方程的通解 两个不等实根: 两个相等实根: 一对共轭复根: 例1 求微分方程的通解. 解 特征方程为,解出特征根,故所求微分方程的通解为 (为任意常数). 例2 求微分方程满足初始条件的特解. 解 先求出通解,再求满足初始条件的特解. 特征方程为,特征根为二重根,故微分方程的通解为 . 代入,求得;因为 , 代入,求得.故微分方程满足题中初始条件的特解为 . 例3 求微分方程的通解. 解 特征方程为,求解得共轭复根为 , 即,故原方程的通解为 . 【学生】掌握可降阶的微分方程的解法 学习二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法。边做边讲,及时巩固练习,实现教学做一体化 课堂测验 (10 min) 【教师】出几道测试题目,测试一下大家的学习情况 【学生】做测试题目 【教师】公布题目正确答案,并演示解题过程 【学生】核对自己的答题情况,对比答题思路,巩固答题技巧 通过测试,了解学生对知识点的掌握情况,加深学生对本节课知识

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