《高等数学（下册）》（阳平华）646-1教案 第9章 第6课 向量代数与空间解析几何预备知识.doc

第 课 第 课 向量代数与空间解析几何预备知识 6 向量代数与空间解析几何预备知识 向量代数与空间解析几何预备知识 第 课 6 PAGE 6 PAGE 6 PAGE 5 PAGE 5 向量代数与空间解析几何预备知识 向量代数与空间解析几何预备知识 第 课 6 课题 向量代数与空间解析几何预备知识 课时 2课时（90 min） 教学目标 知识技能目标： （1）掌握向量的相关概念 （2）掌握向量的运算规则，包括三角形法则和平行四边形法则 （3）理解向量加减法及数乘的含义 （4）理解二阶与三阶行列式的概念及运算法则 思政育人目标： 通过学习向量的基础知识，引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神 教学重难点 教学重点：向量的概念 教学难点：向量的运算规则 教学方法 讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法 教学用具 电脑、投影仪、多媒体课件、教材 教学设计 第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（33 min）→课堂测验（10 min） 第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min） 教学过程 主要教学内容及步骤 设计意图 第一节课 考勤（2 min） 【教师】清点上课人数，记录好考勤 【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况 知识讲解（33 min） 【教师】讲解向量的概念 既有大小又有方向的量称为向量，也称为矢量，如位移、速度、加速度、力、力矩等．在数学上，通常用一条带箭头的线段来表示向量．例如，如图9-1所示，以为起点，为终点的向量记作，有时也用粗体字母或在字母上面加箭头来表示向量，如或． 图9-1 如果两个向量与的大小相等，且方向相同，我们就说向量与是相等的，记为．这就是说，经过平行移动后能完全重合的向量是相等的． 向量的大小称为向量的模，记为或．模为1的向量称为单位向量；模为零的向量称为零向量，记为或，零向量的方向可以是任意的． 设有两个非零向量，任取空间一点，作，规定不超过的夹角称为向量与的夹角，记为或，即，．零向量与另一向量的夹角可以在0到之间任意取值． 如果或，就称向量与平行，记作；如果，就称向量与垂直，记作．由于零向量与另一向量的夹角可以在0到之间任意取值，因此可以认为零向量与任何向量是平行的，也可以认为零向量与任何向量是垂直的． 当两个向量的起点放在同一点时，如果它们的终点和公共的起点在同一条直线上，则称两向量平行，又称为两向量共线． 类似地，设有个向量，当把它们的起点放在同一点时，若个终点和该公共起点在同一平面上，就称这个向量共面． 【学生】掌握向量的概念 【教师】讲解向量的线性运算 1．向量的加减法 如图9-2所示，当向量与不平行时，以为起点，作，以为邻边作平行四边形，连接对角线，则向量是向量与的和，即．这种向量求和的方法称为平行四边形法则． 两个向量求和，还可以用三角形法则．例如，如图9-3所示，当向量与不平行时，任取一点，作，再以为起点，作，连接，那么向量就是向量与的和，记作，即． 当多个向量求和时，采用三角形法则更方便．如图9-4所示，自任意点开始，依次作，则向量就是个向量的和．当和重合时，它们的和为零向量． 图9-2 图9-3 图9-4 向量的加法满足下面运算规律． （1）交换律：； （2）结合律：． 以上运算规律可以应用三角形法则进行验证． 向量的减法是利用负向量来定义的．设有向量，与的模相同而方向相反的向量称为的负向量，记作．我们规定向量与的差就是向量与的和，即，如图9-5（a）所示． 特别地，当时，有 ． 根据向量的三角形法则，总有 ． 因此，若把向量与移到同一起点，则从的终点向的终点所引向量便是向量与的差，如图9-5（b）所示． （a） （b） 图9-5 由三角形的性质，有 及， 其中等号在与同向或反向时成立． 2．向量与数的乘法 向量与实数的乘积是一个向量，记为，它的模是的模的倍，即．它的方向为：当时，与的方向相同；当时，与的方向相反；当时，．这种运算称为向量的数乘． 向量的数乘满足下列运算规律． （1）结合律：； （2）分配律：． 这里为向量，为实数． 向量的加法运算以及向量的数乘运算统称为向量的线性运算． 设，与同方向的单位向量记为，由数与向量乘积的定义有，． 上式表明一个非零向量除以它的模，结果是一个与原向量同方向的单位向量，这一过程称为向量单位化． 由于向量与平行，因此我们常用数乘来说明两个向量的平行关系． 定理1