《高等数学（上册）》（阳平华）645-4教案 第一章 第3课 无穷小量与无穷大量、极限的运算法则.doc

第 课 第 课 无穷小量与无穷大量、极限的运算法则 3 无穷小量与无穷大量、极限的运算法则 无穷小量与无穷大量、极限的运算法则 第 课 3 PAGE 8 PAGE 8 PAGE 9 PAGE 9 无穷小量与无穷大量、极限的运算法则 无穷小量与无穷大量、极限的运算法则 第 课 3 课题 无穷小量与无穷大量、极限的运算法则 课时 2课时（90 min） 教学目标 知识技能目标： （1）掌握无穷小量、无穷大量的概念。 （2）理解无穷小与函数极限的关系、无穷大与无穷小的关系。 （3）能够判断无穷小量和无穷大量。 （4）能够运用极限的四则运算法则求极限。 （5）理解复合函数的极限运算法则。 思政育人目标： 通过学习无穷小量与无穷大量、极限的运算法则，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神 教学重难点 教学重点：无穷小量、无穷大量的概念、极限的四则运算法则 教学难点：无穷小量和无穷大量的判断、运用极限的四则运算法则求极限 教学方法 讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法 教学用具 电脑、投影仪、多媒体课件、教材 教学设计 第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（30 min）→问题讨论（5 min）→课堂测验论（8 min） 第2节课：知识讲解（25 min）→问题讨论（5 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min） 教学过程 主要教学内容及步骤 设计意图 第一节课 考勤（2 min） 【教师】清点上课人数，记录好考勤 【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况 知识讲解（30 min） 【教师】讲解无穷小量的相关知识，并通过例题讲解介绍其应用 1．无穷小量的概念 定义1 在自变量的某一变化过程中，以0为极限的函数称为无穷小量，简称无穷小，常用，，等表示． 例如，当时，是无穷小量；当时，是无穷小量；当时，是无穷小量． 例1 下列变量在自变量怎样的变化过程中为无穷小量： （1）；（2）；（3）；（4）． 解 （1）因为，所以当时，为无穷小量． （2）因为，所以当时，为无穷小量． （3）因为，所以当时，为无穷小量． （4）因为，所以当时，为无穷小量． 2．无穷小与函数极限的关系 定理1 在自变量的同一变化过程中，函数以常数A为极限的充要条件是可以表示为常数A与一个无穷小量之和，即 ． 3．无穷小量的性质 性质1 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量． 性质2 有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量． 性质3 有界变量与无穷小量的乘积仍是无穷小量． 推论 常数与无穷小量的乘积仍是无穷小量． 例2 求． 解 因为，当时，是无穷小量．根据无穷小量的性质3，当时，是无穷小量，即 ． 【学生】掌握无穷小量的概念和性质，理解无穷小与函数极限的关系 【教师】讲解无穷大量的相关知识，并通过例题讲解介绍其应用 1．无穷大量的概念 定义2 在自变量的某个变化过程中，绝对值无限增大的函数称为无穷大量，简称无穷大，记作． 例如，当时，无限增大，所以当时，是无穷大，即． 2．无穷大与无穷小的关系 定理2 在同一变化过程中，无穷大量的倒数必是无穷小量；非零无穷小量的倒数必是无穷大量． 例如，当时，是无穷大量，则是无穷小量；当时，是无穷小量，则是无穷大量． 例3 下列变量在自变量怎样的变化过程中为无穷大量： （1）； （2）． 解 （1）因为时，，即；时，，即，所以及时，都是无穷大量． （2）因为时，，即，所以时，是无穷大量． 【学生】掌握无穷大量的概念，理解无穷大与无穷小的关系 学习无穷小量的概念、无穷小与函数极限的关系、无穷小量的性质，无穷大量的概念、无穷大与无穷小的关系。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化 问题讨论（5 min） 【教师】组织学生讨论以下问题 1．给出无穷小量的定义． 2．无穷小量的性质与极限的性质有什么联系与区别？ 【学生】讨论、发言 通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解 课堂测验 （8 min） 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况 【学生】做测试题目 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧 通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象 第二节课 知识讲解（25 min） 【教师】讲解极限的四则运算法则，并通过例题讲解介绍其应用 定理1 若，，则： （1）； （2）； （3）． 推论 设存在，c为常数，n为正整数，则有： （1）； （2）． 定理2 设有数列和，若，，则 （1）； （2）； （3）