《高等数学（上册）》（阳平华）645-4教案 第一章 第4课 极限存在准则与两个重要极限、无穷小阶的比较.doc

第 课 第 课 极限存在准则与两个重要极限、无穷小阶的比较 4 极限存在准则与两个重要极限、无穷小阶的比较 极限存在准则与两个重要极限、无穷小阶的比较 第 课 4 PAGE 2 PAGE 2 PAGE 3 PAGE 3 极限存在准则与两个重要极限、无穷小阶的比较 极限存在准则与两个重要极限、无穷小阶的比较 第 课 4 课题 极限存在准则与两个重要极限、无穷小阶的比较 课时 2课时（90 min） 教学目标 知识技能目标： （1）掌握极限存在准则与两个重要极限。 （2）理解无穷小阶的比较。 思政育人目标： 通过学习极限存在准则与两个重要极限、无穷小阶的比较，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神 教学重难点 教学重点：极限存在准则Ⅰ、极限存在准则Ⅱ 教学难点：利用两个重要极限公式求极限的方法 教学方法 讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法 教学用具 电脑、投影仪、多媒体课件、教材 教学设计 第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（35 min）→问题讨论（10 min） 第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min） 教学过程 主要教学内容及步骤 设计意图 第一节课 考勤（2 min） 【教师】清点上课人数，记录好考勤 【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况 知识讲解（35 min） 【教师】讲解准则Ⅰ与第一个重要极限，并通过例题讲解介绍其应用 准则Ⅰ（夹逼准则） 设数列，， QUOTE an.bn.cn 满足： （1） QUOTE ?N0∈Z+nN 时， QUOTE an≤cn≤bn ， （2）（为常数）， 则． 例1 求． 解 对，有 ， ， 而，． 由夹逼准则可知 ． 上述数列极限存在准则可以推广到函数的极限： 准则Ⅰ（夹逼准则） 若函数在点的某去心邻域内满足： （1）， （2）， 则有． 作为准则Ⅰ及准则Ⅰ的应用，下面证明一个重要极限：． 证明 在图1-25所示的单位圆中，设圆心角，切圆于，且与延长线相交于，于是有 ， 即，，不等式两边同时除以得 ， 不等式两边同时取倒数得 ，． 当时，，有，同样可得．所以当时，．又因为，，由判别准则I知． 图1-25 例2 求． 解 ． 例3 求． 解 设，则当时，，于是 ． 例4 求． 解 ． 例5 求． 解 设，则时，，所以 ． 【学生】掌握准则Ⅰ与第一个重要极限 【教师】讲解准则Ⅱ与第二个重要极限，并通过例题讲解介绍其应用 定义1 如果数列满足，则称数列是单调递增的；如果数列满足，则称数列是单调递减的．单调递增数列与单调递减数列统称为单调数列． 准则Ⅱ（单调有界原理） 单调有界的数列必存在极限． 不妨设是一单调递增的数列，且，使对，，则数列的通项随的增大而不断在数轴上向右平移，但不会超过点．因此，必然无限接近于某个实数，便是数列的极限，如图1-26所示． 图1-26 证明：．（详见教材） 例6 求． 解法1 设，则当时，，所以 ． 解法2 ． 例7 求． 解 ． 例8 求． 解 结论 一般地，有公式 ． 例9 求． 解 【学生】掌握准则Ⅱ与第二个重要极限 学习极限存在准则与两个重要极限。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化 问题讨论（10 min） 【教师】组织学生讨论以下问题 1．夹逼准则与极限的定义有何内在联系？ 2．单调递增（递减）有上界（下界）的数列一定是有界数列吗？ 【学生】讨论、发言 通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解 第二节课 知识讲解（20 min） 【教师】讲解无穷小阶的比较，并通过例题讲解介绍其应用 定义1 设，是同一变化过程中的两个无穷小量， （1）若，则称是比高阶的无穷小量，记为． （2）若，则称是比低阶的无穷小量． （3）若（c是不等于零的常数），则称与是同阶无穷小量．特别地，若，则称与是等价无穷小量，记作． 例1 证明：当时，． 证明 因为，所以时． 例2 证明：当时，． 证明 令，则．因为，所以当时，， ， 故时，． 类似可证：时，． 例3 证明：当时，． 证明 令，则，当时，有， ． 定理1 与是等价无穷小的充分必要条件为． 故有： ；；； ；；． 定理2（等价无穷小量代换定理） 若，，且存在，则 ． 证明 ． 定理2表明，在求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用一个与它等价的无穷小来代替，这样可以简化很多函数极限的计算．下面给出一些常用的等价无穷小公式（当时）： （1）； （2）； （3）；