《高等数学（下册）》（阳平华）646-1教案 第8章 第2课 常数项级数的审敛法.doc

第 课 第 课 常数项级数的审敛法 2 常数项级数的审敛法 常数项级数的审敛法 第 课 2 PAGE 2 PAGE 2 PAGE 9 PAGE 9 常数项级数的审敛法 常数项级数的审敛法 第 课 2 课题 常数项级数的审敛法 课时 2课时（90 min） 教学目标 知识技能目标： （1）掌握正项级数的定义及其审敛法 （2）掌握交错级数的定义及其审敛法 （3）掌握绝对收敛与条件收敛的定义及其判定方法 思政育人目标： 通过学习常数项级数的敛散性，引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神 教学重难点 教学重点：正项级数的定义及其审敛法、交错级数的定义及其审敛法 教学难点：绝对收敛与条件收敛的判定 教学方法 讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法 教学用具 电脑、投影仪、多媒体课件、教材 教学设计 第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（33 min）→课堂测验（10 min） 第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min） 教学过程 主要教学内容及步骤 设计意图 第一节课 考勤（2 min） 【教师】清点上课人数，记录好考勤 【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况 知识讲解（33 min） 【教师】讲解正项级数的定义及其审敛法，并通过例题介绍其应用 定义1 如果级数的每一项，则该级数称为正项级数．显然，正项级数的部分和数列是递增数列，即 ． 如果数列有上界，根据数列的单调有界准则可知部分和数列有极限，从而级数收敛．反之，若级数收敛，则有极限，故数列必有界．于是就得到了下面判定正项级数敛散性的基本定理． 定理1 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界． 定理2（比较审敛法） 设和都是正项级数，且则有 （1）若级数收敛，则级数收敛； （2）若级数发散，则级数发散． 证明 记，，由于，因此 ． （1）若级数收敛，其和记为，则，即部分和数列有上界，由定理1，可知级数收敛． （2）是（1）的逆否命题，即（2）也成立． 例1 讨论级数 的敛散性，其中常数． 解 当时，，因调和级数发散，由比较审敛法知，级数发散． 当时，若时，则有，所以 ． 对于级数，其部分和为 ， 表明数列有界，由定理1可得原级数收敛． 综上所述，当时，级数发散；当时，级数收敛． 例2 证明级数是发散的． 证明 因为 ， 而级数是发散的，根据比较审敛法可知所给级数也是发散的． 定理3（比较审敛法的极限形式） 设和都是正项级数，如果，则有 （1）当时，级数和级数同时收敛或同时发散； （2）当且收敛时，也收敛； （3）当且发散时，也发散． 例3 判别级数的收敛性． 解 因为，而级数发散，根据比较审敛法的极限形式知，级数发散． 定理4（比值审敛法，达朗贝尔判别法） 设为正项级数，如果，则有 （1）当时，级数收敛； （2）当（或）时，级数发散； （3）当时，级数可能收敛也可能发散． 例4 判断下列级数的敛散性： （1）； （2）； （3）． 解 （1）因为，根据比值审敛法可知所给级数收敛． （2）因为，根据比值审敛法可知所给级数发散． （3）因为，由于用比值审敛法无法判断其收敛性，因此改用比较审敛法进行判断，具体过程如下： 因为，级数收敛，故级数收敛． *定理5（根值审敛法，柯西判别法） 设是正项级数，如果它的一般项的次根极限等于，即，则有 （1）当时，级数收敛； （2）当（或）时，级数发散； （3）当时，级数可能收敛也可能发散． 例5 证明级数是收敛的． 解 因为，由根值审敛法可知所给级数收敛． 例6 判别级数的敛散性． 解 因为，由根值审敛法知所给级数收敛． 【学生】掌握正项级数的定义及其审敛法 学习正项级数的定义及其审敛法。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化 课堂测验 （10 min） 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况 【学生】做测试题目 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧 通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象 第二节课 知识讲解（20 min） 【教师】讲解交错级数的定义及其审敛法，并通过例题讲解介绍其应用 各项符号依次正负相间的常数项级数 ， 或 ， 称为交错级数．交错级数的一般形式为，其中． 对于交错级数的敛散性，有以下判定法则． 定理6（莱布尼茨定理） 如果交错级数满足条件： （1）； （2）， 则该级数收敛，且其和，其余项的绝对值． 例7 判断下列级