《高等数学（下册）》（阳平华）646-1教案 第8章 第4课 初等函数的幂级数展开.doc

第 课 第 课 初等函数的幂级数展开 4 初等函数的幂级数展开 初等函数的幂级数展开 第 课 4 PAGE 6 PAGE 6 PAGE 7 PAGE 7 初等函数的幂级数展开 初等函数的幂级数展开 第 课 4 课题 初等函数的幂级数展开 课时 2课时（90 min） 教学目标 知识技能目标： （1）理解泰勒级数（含麦克劳林级数）的概念 （2）掌握函数的幂级数展开方法，如直接展开法和间接展开法 （3）熟悉几个常见函数的幂级数展开式，并利用这些展开式将一般函数展开成幂级数 思政育人目标： 通过讲解初等函数的幂级数展开的相关知识，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神 教学重难点 教学重点：泰勒级数（含麦克劳林级数）的概念 教学难点：函数的幂级数展开方法 教学方法 讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法 教学用具 电脑、投影仪、多媒体课件、教材 教学设计 第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（23 min）→课堂测验（20 min） 第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min） 教学过程 主要教学内容及步骤 设计意图 第一节课 考勤（2 min） 【教师】清点上课人数，记录好考勤 【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况 知识讲解（23 min） 【教师】通过两个问题，引出泰勒级数（含麦克劳林级数）的概念 问题1：函数在什么条件下可以表示成幂级数，即 （8-4） 问题2：如果能表示成式（8-4）的幂级数，那么系数怎样确定？ 下面我们就来讨论这两个问题． 我们先来讨论问题2．假定在的某邻域内能表示成式（8-4），我们来看看系数与应有怎样的关系． 由于可以表示成幂级数，根据幂级数的性质，在的邻域内任意阶可导．对式（8-4）两端逐次求导得 ． 在幂级数式及其各阶导数中，令分别得 ， 则该幂级数为 ， （8-5） 展开式为 ． （8-6） 级数（8-5）称为函数在处的泰勒级数．展开式（8-6）称为函数在处的泰勒展开式． 其中，当时，泰勒级数表示为 ， 该级数称为函数的麦克劳林级数． 实际上，只要在处任意阶可导，我们就可以写出函数的泰勒级数，但此泰勒级数是否收敛于，即式（8-6）何时成立呢？下面的定理将会解答． 定理1 设函数在的邻域内具有各阶导数，则在处的泰勒级数收敛于或者在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是余项满足，其中为拉格朗日余项，即 【学生】理解泰勒级数（含麦克劳林级数）的概念 学习泰勒级数（含麦克劳林级数）的概念。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化 课堂测验 （20 min） 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况 【学生】做测试题目 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧 通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象 第二节课 知识讲解（20 min） 【教师】讲解函数展开成幂级数的两种方法，并通过例题讲解介绍其运算方法 1．直接展开法 利用泰勒或麦克劳林展开式把初等函数展开成幂级数的方法称为直接展开法．用直接展开法将函数展开成的幂级数的步骤如下． （1）求的各阶导数（若某阶导数不存在，则不能展开成的幂级数，运算结束）． （2）求函数及其各阶导数在处的值： （3）写出幂级数 ， 并求出其收敛半径． （4）考察当在区间内时，余项的极限是否为零．如果为零，则函数在区间内的幂级数展开式为 ． 例1 将函数展开成的幂级数． 解 所给函数的各阶导数为，因此，于是得级数 ， 它的收敛半径． 对于任何有限的数（介于0与之间），有 ． 因为有限值，而是收敛级数的一般项，故，所以，从而有展开式 ． 例2 将函数展开成的幂级数． 解 所给函数的各阶导数为 ， ， ， ． 故，顺序循环地取四个数，于是得级数 ， 它的收敛半径为． 对于任何有限的数，（介于0与之间），有 ． 因此得展开式 ． 注：同理可得 ． 例3 将函数展开成的幂级数，其中为任意常数． 解 的各阶导数为 ， ， 故 于是得幂级数 ． 这级数相邻两项的系数之比的绝对值 ， 因此，对于任何常数这级数在开区间内收敛． 可以证明 取，则有 2．间接展开法 直接展开法需要求出函数的各阶导数，有时计算量很大．我们还可以结合一些已知的函数展开式，运用幂级数的运算性质（四则运算、逐项微分、积分）及变量替换，将所给函数展开成幂级数，这种方法称为间接展开法． 例4 将函数展开成的幂级数． 解 因为，把换成得