《高等数学（上册）》（阳平华）645-4教案 第七章 第27课 定积分的应用（一）.doc

27第 27 第 课 定积分的应用（一） 定积分的应用（一） 定积分的应用（一） 第 课 27 PAGE 14 PAGE 14 PAGE 13 PAGE 13 定积分的应用（一） 定积分的应用（一） 第 课 27 课题 定积分的应用（一）——定积分的微元法、定积分的几何应用 课时 2课时（90 min） 教学目标 知识技能目标： （1）理解定积分的微元法。 （2）了解定积分在几何上的应用。 思政育人目标： 借助直观的几何图形讲解微元法，并介绍定积分在几何领域的应用，使学生体会到数学在实际问题中的应用，增加学生的学习兴趣；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的。 教学重难点 教学重点：定积分的微元法 教学难点：定积分在几何上的应用 教学方法 讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法 教学用具 电脑、投影仪、多媒体课件、教材 教学设计 第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（28 min）→问题讨论（5 min）→课堂测验（10 min） 第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min） 教学过程 主要教学内容及步骤 设计意图 第一节课 考勤（2 min） 【教师】清点上课人数，记录好考勤 【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况 知识讲解（28 min） 【教师】讲解定积分的微元法 引入定积分概念时，从讨论曲边梯形的面积问题中知道，积分是以为底、以曲线为曲边的曲边梯形的面积．而微分表示点处以为宽的小曲边梯形面积的近似值，称为曲边梯形的面积元素．那么，以为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素为被积表达式，以为积分区间的定积分． 一般情况下，为求某一量U（与变量有关的量），先确定变量的变化区间，再求量U的元素．若，则量U就是以为被积表达式，以为积分区间的定积分，即 ． 这一方法通常称为微元法（或称为元素法）． 【教师】讲解利用定积分求平面图形的面积，并通过例题介绍其应用 1．直角坐标情形 设平面图形由上下两条曲线与及左右两条直线与所围成（见图7-1），则面积元素为 ， 于是平面图形的面积为 ． 类似地，由左右两条曲线与及上下两条直线与所围成的平面图形（见图7-2）的面积为 ． 图7-1 图7-2 例1 计算由抛物线和所围成的图形的面积． 解 （1）画图，如图7-3所示； （2）确定图形在轴上的投影区间：； （3）确定上下曲线，；； （4）计算积分： ． 例2 计算抛物线与直线所围成的图形的面积． 解 （1）画图，如图7-4所示； （2）确定图形在轴上的投影区间：； （3）确定左右曲线，，； （4）计算积分： ． 图7-3 图7-4 2．参数方程情形 有时候，用曲线的参数方程计算一些平面图形面积更简便． 例3 如图7-5所示，求椭圆所围成的图形的面积． 图7-5 解 因为整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍，椭圆在第一象限部分在轴上的投影区间为．因为面积元素为，所以 ． 椭圆的参数方程为 ， 于是， 3．极坐标情形 由曲线及射线，围成的图形称为曲边扇形，如图7-6所示． 图7-6 取为积分变量，在区间上任取子区间，相应的小曲边扇形的面积可用半径为、中心角为的圆扇形的面积来近似代替，即面积元素为 ． 因此，曲边扇形的面积为 ． 例4 如图7-7所示，求对数螺线及射线和所围成的图形面积． 图7-7 解 所求面积为 ． 例5 如图7-8所示，求由曲线及所围成图形公共部分的面积． 解 曲线与交点的极坐标为 ，． 由于对称性，所求面积为 ． 图7-8 【教师】讲解利用定积分求旋转体的体积和平行截面面积为已知的立体的体积，并通过例题介绍其应用 1．旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内某一条定直线旋转一周而成的立体．这条定直线称为旋转轴． 常见的旋转体包括：圆柱、圆锥、圆台、球体及椭球体等，如图7-9所示． 圆柱 圆锥 圆台 球体 椭球体 图7-9 下面用微元法来计算由连续曲线、直线与及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体的体积，如图7-10所示． 图7-10 设过区间内点且垂直于轴的平面左侧的旋转体的体积为，当平面左右平移时，体积的增量近似于以为底面半径、为高的扁圆柱体的体积，即 ， 于是体积元素为 ， 旋转体的体积为 ． 同理，由连续曲线，