《高等数学（上册）》（阳平华）645-4教案 第三章 第11课 洛必达法则、泰勒公式.doc

11第 11 第 课 洛必达法则、泰勒公式 洛必达法则、泰勒公式 洛必达法则、泰勒公式 第 课 11 PAGE 4 PAGE 4 PAGE 5 PAGE 5 洛必达法则、泰勒公式 洛必达法则、泰勒公式 第 课 11 课题 洛必达法则、泰勒公式 课时 2课时（90 min） 教学目标 知识技能目标： （1）掌握使用洛必达法则求函数极限的方法。 （2）理解使用泰勒公式求函数极限的方法。 思政育人目标： 通过学习洛必达法则、泰勒公式及其应用，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；通过为学生介绍使用洛必达法则和泰勒公式求一些函数的极限的方法，使学生认识到解决问题是需要一定技巧的。 教学重难点 教学重点：洛必达法则的相关定理 教学难点：使用洛必达法则求函数极限 教学方法 讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法 教学用具 电脑、投影仪、多媒体课件、教材 教学设计 第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（33 min）→课堂测验（10 min） 第2节课：知识讲解（25 min）→问题讨论（5 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min） 教学过程 主要教学内容及步骤 设计意图 第一节课 考勤（2 min） 【教师】清点上课人数，记录好考勤 【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况 知识讲解（33 min） 【教师】讲解未定式的概念，以及学习洛必达法则的意义 如当（或）时，两个无穷小量之商与两个无穷大量之商的极限可能存在，也可能不存在，这种极限称为未定式，简记为和．洛必达法则是处理未定式极限的重要 工具，是计算型、型及其他类型未定式极限的简单而有 效的方法． 【教师】讲解 00 与 ∞∞ 型未定式求极限的洛必达法则，并通过例题 定理1 设，在的某去心邻域内有定义，且满足： （1），； （2），在内可导，且； （3）存在（或为）， 那么 ． 同样，我们可得到如下型未定式求极限的洛必达法则． 定理2 设，在的某去心邻域内有定义，且满足： （1）； （2），在内可导，且； （3）存在（或为）． 那么 ． 例1 求． 解 ． 例2 求． 解 ． 注意，上式中的已不是未定式，不能继续应用洛必达法则． 例3 求． 解 ． 例4 求． 解 ． 例5 求． 解 ． 结论 时，幂函数增大的速度快于对数函数，指数函数增大的速度快于幂函数（由例4、例5得出）． 例6 求． 解 由于 不存在，故不能使用洛必达法则求此极限，但不表示此极限不存在．此极限可用以下方法求得： ． 有时求函数极限需先化简求极限的函数，再用洛必达法则求极限，如先进行等价无穷小量替换等． 例7 求． 分析 这是一个型未定式求极限，直接用洛必达法则求极限，会使极限变得更为复杂．可以考虑先使用等价无穷小的替换对极限进行化简，但还要注意等价无穷小替换的使用条件． 解 因为，所以 ． 又因为，所以 ． 例8 求． 解 【教师】讲解可化为 00 型或 ∞∞ 型的未定式求极限的洛必达法则，并通过例题 一些未定式如，，，，型，可化为 型或型未定式求极限． 例9 求． 解 这是一个型未定式，可化为型未定式求极限． ． 例10 求． 解 这是型未定式，通常可以用通分或有理化等方法将其化为型或型未定式求极限． ， 因为，所以 ． 例11 求． 解 这是型未定式，可化为型未定式求极限． ， 因为，所以 ． 例12 求． 解 这是一个型未定式，可化为型未定式求极限． 【学生】理解洛必达法则，能够使用洛必达法则求函数的极限 学习洛必达法则的使用方法。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化 课堂测验 （10 min） 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况 【学生】做测试题目 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧 通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象 第二节课 知识讲解（25 min） 【教师】讲解泰勒公式，并通过例题讲解介绍其应用 泰勒中值定理 设在内具有阶导数，，则对有 ， （3-1） 其中 (介于与x之间)． （3-2） 证明 显然 ， 由于在内具有阶导数，所以在内也具有阶导数，且．要证 (介于与之间)，只要证即可． 由于 中对函数及在以与为端点的区间上应用柯西中值定理有 (介于与之间)， 又因为 对函数与在以及为端点的区间上应用柯西中值定理有 (介于与之间)， 依此类推，应用次柯西中值定理后得 (介于与之间)， 即，而，故 (介于与之间)， 定理得证． 式（3-1）称为函数按的幂展开的带有拉格朗日型余项的阶泰勒公式．