考研数学第三讲中值定理的证明0204192309.pdf

第四讲 中值定理的证明技巧 第四讲 中值定理的证明技巧 一、 考试要求 一、 考试要求 1、 理解闭区间上连续函数的性质 （最大值、最小值定理，有界性定理，介值定 1、 理解闭区间上连续函数的性质 （最大值、最小值定理，有界性定理，介值定 理），并会应用这些性质。 理），并会应用这些性质。 2、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理，了解并会用柯西中值 2、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理，了解并会用柯西中值 定理。掌握这四个定理的简单应用（经济）。 定理。掌握这四个定理的简单应用（经济）。 3、 了解定积分中值定理。 3、 了解定积分中值定理。 二、 内容提要 二、 内容提要 1 1、 介值定理（根的存在性定理） 、 介值定理（根的存在性定理） 1 M m 1 M m （）介值定理 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之 （）介值定理 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之 . 间的任何值. 间的任何值 2 2 （）零点定理 （）零点定理 f(x) [a b] f(a)f(b) 0 ,c (a b) f(x) [a b] f(a)f(b) 0 ,c (a b) 设 在 、 连续，且 ＜ ，则至少存在一点 、 ， 设 在 、 连续，且 ＜ ，则至少存在一点  、 ，  f(c)=0 使得 f(c)=0 使得 2 2、 罗尔定理 、 罗尔定理 f (x) 若函数f (x) 满足： 若函数 满足： f (x) a,b f (x) a,b   1   1 （） 在 上连续 （） 在 上连续 f (x) (a,b) 2 f (x) (a,b) 2 （） 在 内可导 （） 在 内可导 f (a) f (b) f (a) f (b) 3  3 （） （） (a,b) (a,b)   f ( ) 0  f ( ) 0   则一定存在 使得   则一定存在 使得 3 3、 拉格朗日中值定理 、 拉格朗日中值定理 f (x) 若函数f (x) 满足： 若函数 满足： f (x) a,b f (x) a,b  