2020年中考数学压轴题线段和差最值问题汇总--将军饮马问题及其11种变形汇总.pdf

2020 年中考数学压轴题线段和差最值问题汇 总 将军饮马专题 古老的数学问题 “将军饮马 ”，“费马点 ”，“胡不归问题 ”， “阿氏圆 ”等 都运用了化折为直 的数学思想这类问题也是中考试题当中比较难的一类题目， 常常 出现在填空题压轴题或解答 题压轴题中，那么如何破解这类压轴题呢？ 【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结 点和路 径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括： 1. 定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题． 2．确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最 短路 径的问题． 3. 定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径． 4．全局最短路径问题：求图中所有的最短路径． 问题原 “将军饮马”，“造桥选址”。 型】 涉及知 “两点之间线段最短” ，“垂线段 ，“三角形三边关系” ，“轴 识】 最短” 对称” 平移”． 出题背 直线、角、三角形、菱形、矩形、正 圆、坐标轴、抛物线等． 景】 方形、 解题思 “化曲为直” 路】 题型一： 两定一动，偷过敌营。 题型二： 两定一动，将军饮马。 例 1 ：如图， AM⊥ EF， BN⊥EF，垂足为 M、N，MN＝12m，AM＝5m，BN＝ 4m， P 是 EF 上任 意一点，则 PA＋ PB 的最小值是 m ． 分析： 这是最基本的将军饮马问题， A， B 是定点， P 是动点，属于两定一动将军饮马型， 根据常见 的“定点定线作对称 ”，可作点 A 关于 EF 的对称点 A，根据两点之间， 线段最短，连接 AB，此 时 AP＋PB 即为 AB，最短．而要求 AB，则需要构造直角三角形，利用勾股定理解 决． 解答： 作点 A 关于 EF 的对称点 A，过点 A作 AC⊥BN 的延长线于 C．易知AM＝AM＝NC ＝5m，BC＝9m，AC ＝MN＝ 12m，在 Rt△ABC 中， AB＝15m，即 PA＋PB 的最小值 是 15m． 例 2：如图，在等边△ ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC，E 是 AC 上的一点， M 是 AD 上的 一点， 且 AE = 2 ，求 EM+EC 的最小值 解：点 C 关于直线 AD 的对称点是点 B，连接 BE，交 AD 于点 M ，则 ME+MD 最 小， 过点 B 作 BH ⊥AC 于点 H， 2 2 2 2 则 EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，BH = BC - CH = 6 - 3 = 3 3 在直角△ BHE 2 2 2 2 中，BE = BH + HE = (3 3) + 1 = 2 7 对应练习题 1．如图，在△ ABC 中， AC=BC=2，∠ ACB=90°， D 是 BC 边的中点， E 是 AB 边 上一动点，则 EC+ED 的最小值是 。 B 2.在菱形 ABCD 中，对角线 AC=6 ，BD=8 ，点 E、F 分别是边 AB、BC 的中点，点 P 在 AC 上运动，在运动过程中，存在 PE+PF 的最小值，则这个最小值是 . 3．如图，点 C 的坐标为（ 3， y），当△ ABC 的周长最短时，求 y 的值。 A （3，0） B （2，0） 4．如图，正方形 ABCD 的面积是 12，△ ABE 是等边三角