山东科技大学概率论卓相来岳嵘第六章习题解答.docx

山东科技大学概率论卓相来岳嵘第六章习题解答 习题六 S 2～设总体X ～ N (?,6) ,从中抽取容量为 25 的一个样本,求样本方差 小于 9.1 S 2 ～ ～解 ～ X N (?,6)  (n ?1)S 2 ,由? ,由  ? 2(n ?1) ,于是 ? ? ?(n ?1)S 2 ?25 ?1?? 9.1? ? ? ? ? ? ? ? ? P S 2 ? 9.1 ? P ? ? ? ? p ? 2 24 ? 36.4 ? 1? p ? 2 24 ? 36.4 ? 6 6 ? ? 1? 0.05 ? 0.95. 设 ??10  X , X ,L , X 1 2 10 ? . 是取自正态总体  N (0,0.3 2 ) 的样本,试求 P ? ? i?1 X 2 ? 1.44? i ? i解：由?n ?X i i?1 ? u?2 ～ ? 2(n) ，于是 ?2 ?? 10 ? ?  ? X 2 ? ??10 ? ??i 1.44 ? ? ? ? ? ?P ? X 2 ? ? 1.44? ? P ? i?1 ? ? ? P ? 2 10 ? 16 ? 0.1 . i i?1 ? ??0.3?2 ?? ?0.3?2 ? ?? 设总体 X ～ N(a,4) , X , X ,? , X 是取自总体 X 的一个 1 2 n Xn样本, 为样本均值,试问样本容量 分别为多大时, X n ?才能使以下各式成立， ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 1 E X ? a ? 0.1; 2 E X ? a ? 0.1; 3 P{ X ? a ? 1} ? 0.95. X解 （ 1 ） 因为 ～ X 4 N (a, ), n 所以 X ? a 4 n ～ N (0,1), 从而 ?X ? a ? 4 n ?2 ～ ? 2 (1), 于是 X ? a X ? a 2 X? ? 4 X ?E ? ? 1,E ? ? 4 ? a 2 ? n ? 0.1,所以n ? 40. ? n ? （2）因为 X ? a ～ N (0,1),所以 4 n ? ? ? X ? a ? ?  1 ? x2  ? ? x2 ?2 2 2  ? ? x2 ? x2 ? 2 E ? ? ? ? x e 2 dx ? ? xe 2 dx ? ? e 2 d ? ? ? ? , ? 4 ? ?? 2? 2? 0 2? 0 ? 2 ? 2? n? ? n ? ? 所以E ?X ? a ?? 2  4 ? 2 2  ? 0.1, 从而n ? 800  ? 254.7,故n ? 255. 2? （3） 因为 n n? ? ? ? ? ? ? ? ? X ? a 1 ? ? 1 X ? a 1 ? ? n ? P X ? a ? 1 ? P ? ? ? ? P ?? ? ? ? ? 2? ? 2 ? ?1 ? 0.95, ? 4 4 ? ? 4 4 4 ? ? ? ?? n n ?? ?? n n n ?? 所以? ? n ? ? 0.975,而? ?1.96?=0.975，从而 n ? 1.96，n ? 15.37, 故n ? 16. ? 2 ? 2 ? ? 已知总体 X ～ N (10,? 2) ,? 为未知, X , X , X , X 总体 X 的 1 2 3 4 一个样本, X、S2 分别为样本均值和样本方差 构造一个关于X 的统计量Y ,使得Y ~ t(3) ; 设 ,求使 的 . ,?s ? 1.92 P{?? ? X ?10 ? ?} ? 0.95 ? , ? 解 （1） X ?10 ? ? ?n ?1?S 2 ? ? 3S 2 ? ? ? 2 ? X ?10 ? ～N 0,1 , ～? 2 ? 2 n ?1 2 ～? 2 3 , ?? ? ? ? ? ? 3S 23? 2? ? 3S 2 3? 2 Y ? ? 2 ? ? ? ?～t ?3?. ? ? ? S ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2）  P{?? ? ?? ?2? 2 ?X ?10? 2? ?? ? ? X ?10 ? } ? P ? S ? S ? ? ? 1? 2t 2 n ?1 ? 0.95, ?? ?? S ??S所以t ? ? S 2? S ?n ?1?? 0.025, n ? 4, 2? ? 3.1824, S ? 1.92,? ? 3.0551. S 为了估计总体均值 ,抽取足够大的样本 ,以 ?95%的概率使样本均值偏离总体均值不超过总体标准差 的 25%,试求样本容量. ? 解 P?X ? u ? ???