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广义积分习题 1 x x2 ?1 x x2 ?1 2  dx ； 计算??? 2x dx ； ?? 1 ? x 2 计算? 1 ln xdx ； 0 3? 4计算 ? 4 ? 4 dx ； cos2 x 判定? ?? ln n xdx （n0）的敛散性。 1 判定?1 x2 ln x dx 的敛散性。 0 1 ? x 2 解答 x x2 ?11. 计 x x2 ?1 2  dx ； ??? 1 2 dx ? ?? sec t ? tan tdt （x=sect） x x 2 ?1?2 sec t ? tan x x 2 ?1 3 ? ? ? ? ? ? . 2 3 6 2. 计算??? 2x ?? 1 ? x 2 dx ； ??? 2x ?? 1 ? x 2 dx ? ??? 2x 0 1 ? x 2 dx ? ?0 2x dx ?? 1 ? x 2 ?? 2x b 1 ? ? ? 0 1 ? x 2 dx ? lim b??? ? d 0 1 ? x 2 1 ? x 2 ? lim b??? ln(1 ? x 2 ) |b ? ?? ，发散 0 故广义积分 ??? 2x ?? 1 ? x 2 dx 发散。 计算? 1 ln xdx ； 0 ?1ln xdx ? lim ?1 ln xdx ? lim[x ln x |1 ??1 x ? 1dx] 0 ??0? ? ??0? ? ??x ? lim [?? ln? ? (1 ? ?)] ? ?1 ??0? 3? 计算 ?4 dx ； ? cos2 4 3? x ? 3? ?4 dx ? ?2 dx ? ?4 dx ? cos2 x ? cos2 x ? cos2 x 4 4 2 ? ?2 dx  ? lim ?sec2  xdx ? lim (tan x) |t t? cos2 x t ? ? t ? ? t ? ? 4 2 4 ? 2 ? 4 ? lim (tan t ? 1) ? ?? 发散 t?? ? 2 3? 故广义积分 ?4  dx 发散。 ? cos2 x 4 判定??? ln n xdx （n0）的敛散性。 1 x2 n lnn?1 x ? 1 3 lim x 2 x??? lnn x x2 ? lim x??? lnn x 1 x 2 ? lim x??? x x1 ?1 x 2 2 ? 2n lim x??? ln n?1 x 1 x 2 ? ?? ? 0 所以??? ln n xdx 收敛 1 x2 判定?1 ln x dx 的敛散性 0 1 ? x 2 两个瑕点 x=0, x=1 ?1 ln x dx ? ?1 ln x dx ? ?1 ln x dx 201 ? x2 2 0 1 ? x2 1 1 ? x2 2 1(1) ?2 1 0 ln x 1 ? x2 dx 瑕点 x=0 1 lim x 2 ln x 1 ? lim x 2 ln x ? 0 x?0? 1故?2 1 0 1 ? x2 x?0? ln x dx 收敛 1 ? x2 （2） ?1 1 2 ln x dx 瑕点 x=1 1 ? x2 lim (1 ? 1 x) 2 ln x ? lim ln x ? 1  lim ln x ? 0 x?1? 1 ? x2 x?1? (1 ? x)(1 ? 1 x) 2 2 x?1? (1 ? 1 x) 2 故 ?1 1 2 ln x dx 收敛 1 ? x2 因此 广义积分?1 ln x dx 收敛。 0 1 ? x 2