广州市高二数学竞赛试卷.docx

2008 年广州市高二数学竞赛试卷 考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答； ⒉不准使用计算器； ⒊考试用时 120 分钟，全卷满分 150 分． ?一、选择题：本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内． ? 1．若集合 a, a 2 ? a?有 4 个子集，则实数a 的取值范围是（ ） A． ?0, 2? B． ?a a ? 0, a ?R ? C．?a a ? 2, a ?R ? D． ?a a ? 0 且a ? 2, a ? R ? ?2. 已知函数 f ?x?? ?1 ? x 2 , 0 ? x ? 1, ? ?2 x , ? 1 ? x ? 0. 则 f [ f (?0.5)]  等于( ) A． ? 0.5 B． ?1 C． 0.5 D．1 3．在空间直角坐标系O ? xyz 中，点 A、B、C、D 的坐标分别为 A ?1，0，0?、 B ?0，2，0?、C ?2， 4，0?、 D?? 1，2， ? 2?，则三棱锥 A ? BCD 的体积是（ ） A．2 B．3 C．6 D．10 已知直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 与圆?x ? a?2 ? ?y ? b?2 ? 1 (a, b ? R ) 有交点, 则 5 a 2 ? b 2 ? 2a ? 2b ? 1 的最小值是 ( ) 1 4 9 14 5 5 5 5 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分．把答案填在题中横线上． △ ABC 的 三 个 内 角 A、B、C 所 对 的 边 分 别 为 a、b、c , 若 a ? 4，b ? 2，A ? 60? , 则cos C ? . 已知直角梯形 ABCD 的顶点坐标分别为 A?a, 1?, B?2, 0?, C?3, 1?, D?1, 3?， 则实数a 的值是 . 在数列{an }中， a 1 ＝2， an ? an?1 ? 1(n ?N * )，设 Sn 为数列{an }的前 n 项和，则 S30 ? 2S29 ? S28 的值为 . 已知 A、B、C 三点在同一条直线l 上，O 为直线l 外一点，若 pOA ? qOB ? rOC ? 0， p, q, r ?R，则 p ? q ? r ? . 一个非负整数的有序数对(m, n) ，如果在做m ? n 的加法时不用进位，则称(m, n) 为“奥 运数对”， m ? n 称为“奥运数对” (m, n) 的和，则和为2008 的“奥运数对”的个数有 ? ? ? ? ? ? ? 如图 1 所示, 函数 y ? f x 的图象是圆心在点 1, 0 ,半径为 1 的两段圆弧, 则不等式 f ?x?? f ?2 ? x?? x 的解集是 . O 1 2 x 三、解答题：本大题共 5 小题，共 90 分．要求写出解答过程． 图 1 11．（本小题满分 15 分） 已知函数 f ( x) ? a sin ? x ? b cos ?x ( a, b ?R，? ? 0 )的部分图象如图 2 所示． 求a, b,? 的值； （2）若关于 x 的方程3? f (x)?2 ? f (x) ? m ? 0 在 x ?(? ? 3 范围． , 2? ) 内有解,求实数 m 的取值 3 y 2? 7? 3 6 O x ?1 图 2 12．（本小题满分 15 分） 如图 3 所示, 在三棱柱 A B C  ABC 中, AA  ? 底面 ABC ， AC ? BC, AC ? BC ? CC ? 2 . 1 1 1 1 1 （1）若点 D、E、F 分别为棱CC 、C B 、CA 的中点，求证： EF ? 平面 A BD ； 1 1 1 1 请根据下列要求设计切割和拼接方法 :要求用平行于三棱柱 A B C ABC 的某一 1 1 1 条侧棱的平面去截此三棱柱,切开后的两个几何体再拼接成一个长方体. 简单地写出一种切割和拼接方法， C1E C 1 E D C F 1B A 1 1 B A 图 3 13．（本小题满分 20 分） 已知点 A(x , y ) ， B(x , y ) 是椭圆 L ： x2 ? y2 ? 1上不同的两点，线段 AB 的中点为 1 1 2 2 18 9 M (2, 1). 求直线 AB 的方程； 若线段AB 的垂直平分线与椭圆L 交于点C 、D ，试问四点 A 、B 、C 、D 是否在同一个圆 上，若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由. 14．（本小题满分 20 分） 已知在数列{a n } 中， a 1 ? 1 ， a  2n?1 ? qa