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利用再生散度模型的性质求数学期望和方差 　　摘要：再生散度模型是一个分布族，它包括许多常见的分布，比如：正态分布、二项分布、poisson分布、gamma分布和逆gauss分布等。关于再生散度模型的概率密度函数的积分的求导性质，文献中已有研究。在一些适当的正则条件下，对于再生散度模型的概率密度函数的积分，关于其参数的求导运算可以通过积分号来进行。该文主要研究利用这个性质，来求随机变量的数学期望和方差。最后通过实例说明了这种方法是有效的并且比传统方法更简单。 　　关键词：再生散度模型数学期望方差随机变量 　　中图分类号：o211文献标识码：a文章编号：1672-3791（2019）11（b）-0194-02 　　abstract：reproductivedispersionmodelsareafamilyofdistributions，whichincludemanycommondistributionssuchasnormal，binomial，poisson，gamma，inversegauss，andsoon.thederivativepropertyofintegralofprobabilitydensityfunctionofreproductivedispersionmodelshasbeenstudiedinliterature.undersomeappropriateregularconditions，thederivativesofintegralswithrespecttoprobabilitydensityfunctionofthereproductivedispersionmodelscanbecomputedundertheintegralsign.thispapermainlystudiesthatthemathematicalexpectationandvarianceofsomerandomvariablescanbeobtainedbyusingthisproperty.finally，anexampleshowsthatthismethodiseffectiveandsimplerthanthetraditionalmethod. 　　keywords：reproductivedispersionmodels;mathematicalexpectation;variance;randomvariables 　　求隨机变量的数学期望和方差是概率论课程的重要内容。关于数学期望和方差的计算，教材中的方法是根据他们定义来求，这种方法有时比较繁琐[1]。该文研究利用再生散度模型的概率密度函数的积分性质，来求随机变量的数学期望和方差。其方法比教材中的方法要简单。 　　再生散度模型（reproductivedispersionmodels）是一类重要的统计分布族，它包括正态分布、二项分布、poisson分布、gamma分布和逆gauss分布等许多常见的分布。1997年，jorgensen给出了再生散度模型的定义，研究了再生散度模型的一些重要性质[2]。比如：给出了再生散度模型的密度函数的鞍点逼近。2010年，xiaandwang研究了再生散度模型的概率密度函数的积分性质，指出在一些正则条件下，对再生散度模型的概率密度函数的积分，关于其参数求导运算可以通过积分号来进行[3]。该文主要研究利用这个性质，来求随机变量的数学期望和方差。 　　1定义 　　如果随机变量y关于某个适当的测度的概率密度函数可表示为： 　　（1） 　　其中a（.;.）≥0为某一合适的已知函数;d（.;.）为定义在c×ω上的单位偏差度（unitdeviance）函数，，ω是一开区间，凸支撑集c为包含s的最小区间，s是概率密度函数的支撑集，d（.;.）满足正定性条件： 　　（2） 　　其中μ∈ω为位置（position）参数，σ20为散度（dispersion）参数，则称y服从参数为μ和σ2再生散度分布模型（reproductivedispersionmodels），简记为y～dm（μ，σ2）。 　　2再生散度模型的概率密度函数的积分的求导性质 　　设t（y）是的y函数，v（.）是某个适当的测度，为了研究导数： 　　在什么时候能通过积分号，xiaandwang给出以下条件和定理[3]。 　　条件： 　　（a1）d（y;μ）是的二阶可微函数，d（y;μ）关于μ的一阶、二阶导数均在c×ω上连续;a2μ0是ω的任意点d（y;μ0），d（y;μ0），关于y在集合c上一致成立，其中d（y，μ）。 　　定理