高等数学PPT课件(共13章)第4章不定积分.pptxVIP

第四章 不定积分4.1 不定积分的概念4.2 基本积分公式和运算法则4.3 换元积分法4.4-分部积分法本章小结4.1 不定积分的概念一、 原函数 　　引例 【汽车行驶的路程】一辆汽车沿直线行驶,其速度为v(t)=3t2(t≥0).假设汽 车位置由起点开始计算,求汽车运动的位置函数s(t).　解 由题意可知s(t)=v(t)=3t2,因为 (t3 +C)=3t2,所以 s(t)=t3 +C 又因为s(0)=0,代入得C =0,所以汽车运动的位置函数为s(t)=t3.　在微分学中,我们讨论了已知物体的位置函数s(t)求物体速度v(t)的问题,即v(t)= s(t).而该引例是已知物体的速度v(t),求物体运动的位置函数s(t),与微分学中的求导 运算相反,也就是已知一个可导函数的导数(或微分),求该函数的问题.为求解该类问题, 我们首先给出下面的定义: 　定义4-1 如果在区间I 上,可导函数F(x)的导数为f(x),即对任意的x ∈I, 都有则称函数F(x)是f(x)在区间I 上的一个原函数.　　原函数存在定理:连续函数一定存在原函数. 　由于初等函数在其定义区间上都连续,所以初等函数在其定义区间上都存在原函数.　一般地,若函数F(x)是函数f(x)的一个原函数,则函数族F(x)+C 是f(x)的全 体原函数,其中C 为任意常数.二、 不定积分的概念 　定义4-2 如果函数F(x)是f(x)的一个原函数,那么f(x)的全体原函数F(x)+ C (C 为任意常数)称为f(x)的不定积分,记作∫f(x)dx,即其中“∫”称为积分号;x 称为积分变量;f(x)称为被积函数;f(x)dx 称为被积表达式;C 称为积分常数.　由定义4-2可知: 　(1)求函数f(x)的不定积分实际上只需求出它的一个原函数,再加上任意常数 C 即可;　(2)求不定积分与求导数(或微分)互为逆运算,即三、 不定积分的几何意义 　如果函数F(x)是f(x)的一个原函数,则称y=F(x)的图形为f(x)的一条积分曲 线.因此,f(x)的不定积分在几何上表示f(x)的某一积分曲线沿纵轴方向上下平移所得的积分曲线族.显然,若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线,则这些切线互相 平行,如图4-1所示.图4-1　　例4-3 设曲线经过点(1,3),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线方程.　解 设所求曲线方程为y=f(x),由题意可知曲线上任一点(x,y)处的切线斜率为即f(x)是2x 的原函数.4.2 基本积分公式和运算法则一、 基本积分公式 　由4.1节内容可知,求不定积分与求导(或微分)运算是互逆的,因此由求导(或微分) 的基本公式可以得到不定积分的基本公式.　例如,根据导数公式　可得到xα 的不定积分的公式为　类似地也可得到其他不定积分的公式.我们把下面的公式称为基本积分公式,这些公 式是求不定积分的基础,务必熟记:二、 不定积分的运算法则 　性质4-1 设函数f(x)的原函数存在,k 为非零常数,则有即被积函数中的非零常数因子可提到积分号前面.　性质4-2 设函数f(x)和g(x)的原函数存在,则即两个函数代数和的积分等于它们积分的代数和.　　性质4-1和性质4-2等价于　例4-5 求∫(4x +ex )dx.　解　注:逐项求积分后,每个不定积分都含有任意常数.由于任意常数之和仍为任意常数, 因而为方便起见,只需写出最后一个任意常数C 即可.　在求积分问题中,有一类积分是通过将被积函数按照运算法则进行恒等变形,再利用 基本积分公式求得积分结果的,这种计算不定积分的方法称为直接积分法,常用的恒等变 形有以下几种:　1)代数化简法　2)分子构造法　3)通分还原法　通分还原法是指利用公式将一个表达式拆为两部分,其 关键是寻找分子g(x)±f(x).　4)三角恒等式变形法　在不定积分运算中,常用的三角恒等式主要有以下七个:4.3 换 元 积 分 法一、 第一类换元积分法(凑微分法) 　对于积分∫e2xdx,在基本积分公式中有∫exdx =ex +C.值得注意的是,基本积分表中 的变量x 替换为其他变量或表达式(视为一个变量)时,公式仍然成立.例如,∫costdt= sint+C,　∫cos(2x)d(2x)=sin(2x)+C,∫cos(ex -3)d(ex -3)=sin(ex -3)+C,∫eudu= eu +C,∫e2xd(2x)= e2x +C 等.　因此,可将积分∫e2xdx 与积分∫e2xd(2x)=e2x +C 结合起来,并将dx 变为d(2x),由 于d(2x)=(2x)dx =2dx,故有　我们可以得到如下结论:这种先“凑”微分再作变量代换的方法,称为第一类换元积分法,也称为凑微分法.　第一类换元积分法的特点是被积函数 f[