高等数学PPT课件(共13章)第2章导数与微分.pptxVIP

第二章 导数与微分2.1 导数的概念2.2 函数的求导法则2.3 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数2.4 高阶导数2.5 函数的微分本章小结2.1 导 数 的 概 念一、 引例 　为了说明导数的概念,我们首先讨论与导数概念的形成密切相关的两个问题:变速直 线运动的瞬时速度与曲线的切线斜率.?　引例1 【汽车行驶的速度】小韩开车到 120 千米外的一个旅游景点,共用 2 小时, - ===60千米/小时为汽车在这段路程行驶的平均速度,然而汽车仪表显示的速 度(瞬时速度)却在不断变化.事实上,汽车在做变速运动,那么如何求汽车行驶的瞬时速 度呢?　　1.变速直线运动的瞬时速度 　设质点做变速直线运动的位置函数为s=s(t),试确定该质点在任一给定时刻t0时的 瞬时速度v(t0).根据该质点的位置函数,从时刻t0 到时刻t0+Δt这段时间内,质点从位置 s(t0)运动到s(t0+Δt),所经过的路程是Δs=s(t0 +Δt)-s(t0),如图2 1所示,因而质 点在时刻t0 到时刻t0 +Δt这段时间内的平均速度为?　|Δt|越小,质点在这段时间内的速度变化就越小, 就越接近质点在t0 时刻的瞬时速 度.当Δt→0时,若平均速度的极限存在,就将此极限值称为质点在时刻t0 的(瞬时)速 度,即　引例2 【制作圆形的餐桌玻璃】一张圆形餐桌上需要加装圆形玻璃.测量出餐桌的直 径后,工艺店的师傅就会在一块方形的玻璃上画出一个同样大的圆,然后沿着圆形的边缘 划掉多余的玻璃,最后用砂轮不断在边缘打磨.当玻璃的边缘非常光滑时,一块圆形的餐 桌玻璃就做好了.从数学的角度来讲,工艺店师傅打磨的过程就是在作圆的切线的过程.　由中学知识,我 们 知 道 圆 的 切 线 是 与 圆 有 唯 一 交 点 的 直 线.但 是 对 于 一 般 的 曲 线 y=f(x)来说,其在点 (x0,f(x0)) 处的切线又是怎样定义的呢?　2.平面曲线的切线斜率 　设有曲线L,P 为曲线上一定点,在L 上点P 外另取一点Q,作割线PQ.当点Q 沿曲 线L 移动并趋近于点P 时,如果割线PQ 绕点P 旋转的极限位置存在,那么处于此极限位 置的直线PT 称为曲线L 在点P 处的切线,定点P 叫做切点,如图2 2所示,过切点垂直 于该切线的直线叫做曲线在该点的法线.图2 2　下面讨论如何求切线的斜率.设曲线L 是函数y=f(x)的图形,如图2 3所示,求曲 线L 在点P (x0,f(x0)) 处切线的斜率.图2 3　在曲线L 上点P 外另取一点Q (x0 +Δx,f(x0 +Δx)) ,割线PQ 的倾斜角为φ,则 割线PQ 的斜率为　当点Q 沿曲线L趋于点P 时,Δx →0,割线PQ 的倾斜角φ就趋于切线PT 的倾斜角α. 如果割线PQ 斜率的极限存在(设为k),那么此极限值k 即为曲线L 在点P 处的切线的斜 率,即?二、 导数的定义 　上述两个问题虽然实际背景不同,但都可归结为求函数的增量与对应的自变量增量之 比,当自变量的增量趋近于0(Δx →0)时的极限.在自然科学和工程技术领域内,还有 许多概念,例如电流强度、角速度、线密度等,都可以归结为这种极限的数学形式.我们撇 开这些量的具体意义,抓住它们在数量关系上的共性,就可得出函数导数的概念.?　　定义2 1 设函数y=f(x)在点x0 的某邻域内有定义,当自变量x 在x0处取得增量 Δx(点x0+Δx 仍在该邻域内)时,相应地,因变量取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).如 果当Δx →0时,的极限存在,则称函数y=f(x)在点x0 处可导,该极限称为函数y= f(x)在点x0 处的导数,记作f(x0),即　函数y=f(x)在x0处可导,也称函数y=f(x)在点x0处具有导数或导数存在.若令 x =x0 +Δx,则式(2 1)也可以写为　如果式(2 1)或式(2 2)中的极限不存在,则称函数y=f(x)在x0 处不可导.　例2 1 已知函数f(x)=x2,求f(3).　式(2 1)或式(2 2)极限存在的充分必要条件是左、右极限存在且相等.当这两个单 侧极限存在时,我们给出如下单侧导数的定义:　定义2 3 如果函数y =f(x)在开区间(a,b)内的每一点处都可导,则称函数y =f(x)在开区间(a,b)内可导.如果函数y =f(x)在开区间(a,b)内可导,且在点a右 可导(点b左可导),则称函数y =f(x)在左闭右开区间[a,b)(左开右闭区间(a,b])上 可导.如果函数y =f(x)在开区间(a,b)内可导,且在点a右可导,在点b左可导,则称函 数y =f(x)在闭区间[a,b]上可导.?　若函数y =f(x)在区间I上可导,则对于任一x ∈I,都有一个确定的导数值与之对 应,这样就构成了一个新的函数,