2021考研数学（一）真题答案.docx

2021研究生入考试考研数试卷（数一） 一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上． (1)【答案】D 【解析】;可导自然连续;选D. (2)【答案】C 【解析】由可知; 因此, . (3)【答案】A 【解析】由题意可知时,是比高阶的无穷小量;且,所以;又是奇函数,所以; , 所以. (4)【答案】B 【解析】用特值法，令，则; 选项（A），，排除；同理，选项（B）为； 选项（C）为，排除；选项（D）为排除；所以选择（B）. 方法二将区间等分，每一块长度均为，其中第块小区间为,取区间的中点为，由定义积分定义可知 , 故选B. A选项; C选项; D选项. (5)【答案】B 【解析】二次型,从而二次型矩阵,求其特征值,特征值分别为,故正负惯性指数分别为. (6)【答案】A 【解析】线性无关,则由施密特正交化知 ,; 所以. (7)【答案】C 【解析】用特值法,设; 则 所以,选项C错误. (8)【答案】D 【解析】对于（D）选项,已知,根据条件概率公式,有 ; 从而;又 , 从条件能得到,但是得不到，所以（D）选项是假命题. (9)【答案】C 【解析】,于是是的无偏估计; ; 选（C）. (10)【答案】B 【解析】犯第二类错误的概率即为当为假时接受的概率，所以只要计算当时，没有落入拒绝域的概率;因为,所以， , 则;所以选（B）. 填空题：11～16小题，每小题5分，共30分．请将答案写在答题纸指定位 置上． (11)【答案】 【解析】. (12)【答案】 【解析】; 从而 . (13)【答案】 【解析】令，则，代入有 ,即. 故,从而有;又,故 即 综上特解为. (14)【答案】 【解析】由高斯公式,得 , 其中即为空间区域.又因为关于面对称,故 . (15)【答案】 【解析】 . (16)【答案】 【解析】由题可知的联合分布律 由此可得 ,,; 又,,,,则 . 三、解答题：17～22小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸指定位置上． (17)【答案】 【解析】原式 . (18)【答案】收敛域为, 【解析】设,,则; 易知等比级数的收敛域为,且; 而的收敛区间为;且时,收敛;所以级数的收敛域为. ?? ??? ???. 所以 (19)已知曲线求上的点到坐标面距离的最大值. 【答案】 【分析】本题考察条件极值，考生要熟练拉格朗日乘数法解方程。 【解析】根据题意,设目标函数为,约束条件是以及. 设,则 解得或者.因此所求距离的最大值为. (20)【答案】（1）；（2） 【解析】（1）根据题意,易知; . （2）记,则 ; 补充曲线（顺时针方向）,则 由格林公式可知， , 其中为和围成的封闭区域. 根据格林公式,有 其中是围成的封闭区域. 所以. (21)【答案】（1）;（2） 【解析】（1）,得 ; ,解得; ,解得; 将进行施密特正交化可得; 将单位化,可得 可得正交矩阵,使得. (2)因为可知,所以 ?, 从而 . (22)【答案】(1)(2)(3) 【解析】易知,且在上服从均匀分布; (1)的概率密度 (2)的分布函数 时,;时, ; 的概率密度为 (3) .