理论力学（Ⅱ）（附全书题解）教学课件Ⅱ 第1章 .ppt

动 力 学 吉林工业大学工程力学系CAI课件 第十四章 动力学普遍方程和 拉格朗日方程 §14-1 动力学普遍方程 §14-3 拉格朗日方程的首次积分 §14-2 拉格朗日方程 Lagrange’s Equation §14-1 动力学普遍方程 在理想约束条件下，由达朗伯原理和虚位移原理有： 此方程称为达朗贝尔---拉格朗日方程，又称动力学普遍方程。 应用特点： 该方程是求解质点系动力学问题最普遍的方法。特别是对非自由质点系，不必考虑理想约束的约束力，使求解过程大为简化。 具有理想约束的质点系，在运动的任何瞬时，作用于质点系的所有主动力和所有惯性力，在任何虚位移中的虚功之和等于零！ φ φ ω x y A B C l l l l 球A和B重均为P，套筒C重为Q，可沿y轴滑动，忽略杆重，求角速度ω与偏角φ关系。 例14-1 离心调速器以匀角速度ω转动，重 解： 由动力学普遍方程 代入整理 φ φ ω x y A B C l l l l 解得 对广义速度 求偏导数，有 第一个拉格朗日关系式 由n个质点组成的质点系，受到s个完整约束，则系统的自由度为k=3n-s，拉格朗日以q1，q2,…,qk表示质点系的广义坐标。 §14-2 拉格朗日方程 将上式对广义坐标qs求偏导数，有 经比较，有 第二个拉格朗日关系式 而 由达朗贝尔---拉格朗日方程 广义主动力 广义惯性力 所以 广义惯性力 广义虚位移δqj彼此独立，则 这就是著名的拉格朗日第二类方程，简称拉拉格朗日方程--- Lagrange’s Equation 。 因 称为拉格朗日动势 对保守系统，则广义主动力 这就是保守系统的拉格朗日方程! 解：系统有两个自由度，取滑块A的位移x，均质杆转角φ为广义坐标，主动力只有杆的重力mg。 例14-2 长为l均质杆AB与无重滑块A铰接，在重力作用下于铅直面内运动，滑块A沿倾角为α的斜面无摩擦滑动，求杆的运动微分方程。 α A B C α A B C x φ mg α A B C x φ mg δφ α A B C x φ mg 对x， 对φ， 例14-3 质量为m的物块A在光滑水平面上运动，质量m/2、为半径r的圆盘在物块A上纯滚动，各弹簧连接如图，均为自然长度。建立系统运动微分方程。 A B k k 2k A B k k 2k x rφ 解：取物块A位移x，圆盘转角φ为广义坐标。 φ A B K K 2K x rφ 取平衡位置为零势能点 L 对广义坐标x 对广义坐标φ 这就是系统的运动微分方程。 建立汽车质心垂直运动和绕质心俯仰运动 的运动微分方程，车身质量m，对质心C的 回转半径ρ，两弹簧刚度系数及两轴到质心 距离已知。图示重力，弹簧力的静平衡位置。 C A B K K 1 2 C A B K K 1 2 x θ 解：取从静平衡位置质心垂直位移x， 俯 仰角θ为广义坐标。 汽车动能 汽车势能 这是重力，弹簧力 的势能之和。 对广义坐标x 对广义坐标θ θ 其解具有如下形式 L ＿ ＿ §3 拉格朗日方程的首次积分 循环积分 若L中不显含某一广义坐标 则该坐标称为循环坐标. 对循环 坐标 ,有 因而 对应的广义动量，记为 称 为 它可能是动量，动量矩， · · · 对应于循环坐标的广义动量守恒。 例 椭圆摆由滑块A（质量m ），小球（ 质量m ）与无重连杆构成，各处光滑，求 1 2 椭圆摆在重力作用下的首次积分。 x A 能量积分 ——保守系统的机械能守恒。 系统的动能 解：系统有两个自由度，取滑块A位移y, 杆的转角φ为广义坐标 系统的势能 x φ y 这是一个保守系统，它的机械能守恒： =c 一个首次积分 =c L 观察拉格朗日动势中不显含 y为循环坐标，这就是说广义动量 这就是水平动量守恒！另一个首次积分 椭圆摆 圆盘（质量 ）在水平面上 纯滚动，圆心A光滑连结杆AB（ ），B端固 定一个小球（质量 ），试求椭圆摆的运动 微分方程。 x A B O y 解：广义坐标： x A B O y x φ x为循环坐标，这就是说广义动量： 这是一个保守系统，它的机械能守恒： * *