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原创押题卷(一)
(时间:120分钟总分值:150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每题5分,共40分.在每题给出的四个选项中, 只有一项为哪一项符合题目要求的)
L全集宜=乩 集合A={1, 3, 5},集合5={4?-6尤+520},那么 图中阴影局部表示的集合为()
A, {1, 3, 5}B. {3, 5}
C. {0, 3}D. {3}
解析:D 8={4?—6工+520} = {犬|工25或xWl},阴影局部为{3}.应选D.
.命题P: 4= —1,命题/复数Z=R会为纯虚数,那么命题〃是乡的( )
A,充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件1 I ?
解析:C设z=bi, b£R且比。,那么旖=历,得到l+i=—必+虬...1一血且 l=b,解得〃=一1 .应选C.
TOC \o 1-5 \h \z .直线 l\ : 2x—ysin。+5=0, /?: 3x_2(2 —sin 〃)y+2 021=0,假设 J」%,那么 sin ct =()
A. -1B. 0
C. 1D. -1 或 1
解析:A V/i±/2, /.6+2sin ^(2—sin。)= 0,解得 sin a= — \ 或 sin 〃=3(舍去).故 选A.
.4=已,访1, Z?=ln(sin 1), c=sin 1,那么a, b, c的大小关系为()
A. ahcB. hca
C. chaD. hac
解析:B 因为 Ovsinlvl,所以ln(sin l)0,所以 Z?ca.应选 B.
.抛物线C: y2 = 2*(p0),过抛物线C的焦点尸作x轴的垂线,与抛物线C交 于A, 3两点,O为坐标原点,△。48的面积为2,那么抛物线方程为( )
A. y2=2xB. y2=4x
C. y2 = 8xD. y2=16x
解析:B设yo),那么3=5*今*2丁0=2,解得在抛物线上,、乙 /乙 乙IJIJ乙
:.p=2,故抛物线的方程为V=4x.应选B.
所以直线MN恒过点俱一!).
假设直线MN与x轴垂直,设直线A/N的方程为x=/QW2),那么汨=12=》=一”,
所以说 ?衣 =?—2, y —1)?0—2,一?一1)P
= 0-2)2+1 —y=尸一4/+5 —2+a
=1(5z-6)(f-2) = 0.
所以%=,,此时直线MN经过点(,,—I).
综上可得,直线MN恒过定点住一|)
22.(本小题总分值12分)函数./U)=xe]—e(e是自然对数的底数).
(1)求曲线/U)在点(1,次1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)假设函数g(x) =/(x) — kin x有且仅有两个不同的零点,求实数攵的取值范围.
解:⑴由题意知/a)= (l+x)e\
那么/ (l) = 2e,且-1)=0.
所以曲线=(%)在点(1,犬1))处的切线方程为y=2e(x—1).
所以直线y=2e(x—1)在%轴,y轴上的截距分别为1, —2e, 因此所求三角形的面积为e.
(2)g(x) =xex—k\n x—e(x0), g(l)=O,
当ZWO时,函数g(x)是增函数,g(x)有唯一的零点,与矛盾;
.,, k x (1 +x) e—k
当攵0 时,g (x) = (l+x)e]-;=-,
令 /z(x)=x( 1 + %)eA—k,那么 /zr(x) = (1 + 3x+x2)eA0,所以 /z(x)是增函数,
又—0)=—kO, h(k)=^( 1+k)ek—kk—k=Q,故存在 x()e(0, k),使/z(沏)=xo(l+xo)e%o —Z=0,即左=xo(l+xo)exo.
当 x£(0,沏)时,h(x)09 即,(x)0, g(x)单调递减;
—(孙,+8)时,h(X)09即g(%)0, g(X)单调递增,所以函数g(X)有最小值且g(X)min —g(xo) — xoe^o—Idne=x()exo—xo(l +xo)exoln xo-e,
且 g(xo)=—(1+3+靖村山o,当刈£(0, 1)时,/ (xo)O, g(xo)单调递增;
当 X()£(l, +8)时,gf (X())0, g(XO)单调递减,所以 g(X())ming⑴=0.
当x()£(0, 1)时,存在加£(0, xo)使g3) = 0,又g(l) = 0,故g(x)有且仅有两个不同的 零点,此时攵£(0, 2e);
当回=1时,此时攵=2e, g(x)有唯一的零点xo;
当M)e(l, +°°),存在X20(XO,+8)使g(x2)=0,又g(l)=0,故g(x)有且仅有两个不同的零点,此时左£(2e, +00).
综上所述々£(0, 2e)U(2e,+8).
6.尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通
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