向量的数乘运算及其几何意义.pptVIP

向量的数乘运算 及其几何意义 1.向量加法三角形法则: 特点:首尾相接，首尾连 特点:共起点 B A O 特点：共起点，连终点，方向指向被减数 2.向量加法平行四边形法则: 3.向量减法三角形法则: 讲授新课 思考题1:已知向量 如何作出 和 O A B C N M Q P 记: 即: 同理可得: 思考题2: 向量 与向量 有什么关系? 向量 与向量 有什么关系? (1)向量 的方向与 的方向相同, 向量 的长度是 的3倍,即 (2)向量 的方向与 的方向相反, 向量 的长度是 的3倍,即 一般地，实数λ与向量a的积是一个向量， 这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa， 它的长度和方向规定如下： (1) |λa|=|λ| |a| (2) 当λ0时,λa的方向与a方向相同； 当λ0时,λa的方向与a方向相反； 特别地，当λ=0或a=0时, λa=0 定义: 数乘向量的运算律： 结合律 第一分配律 第二分配律 例1：计算： （1） ； （2） （3） 练习P90第5题 D C A B M 思考 结 论： 结 论： 定理： 练习P90第4题 1. 有关向量共线问题 A B C D E 定理的应用 1. 有关向量共线问题 2. 证明三点共线问题 定理的应用 1. 有关向量共线问题 3. 证明两直线平行的问题 2. 证明三点共线问题 3. 证明两直线平行的问题 课后思考 A E B D F C 课后思考 D E A C M B 课后思考 一、①λa 的定义及运算律 ②向量共线定理 (a≠0) b=λa 向量a与b共线 二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC A,B,C三点共线 3. 证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD AB与CD不在同一直线上 直线AB∥直线CD 小结: 第四节 向量的数量积与向量积 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 一、向量的数量积 引例 外力做功问题 由物理学可知，若质点受外力F的作用，沿直线移动，得到位移s.设位移方向与力的方向间的夹角为(F,s)，则这个力所做的功W为 W=|F||s|cos(F,s). 定义1 若给定向量a，b，定义|a||b|cos(a,b)为向量a与b的数量积，记为a·b，即 a·b= |a||b|cos(a,b) ， 又称之为点积. 性质 两个非零向量垂直的充分必要条件是它们的数量积为零. 由数量积的定义可以证明 a·b=b·a， (λa)·b=a·(λb)=λ(a·b) (λ 为一数量)， (a+b)·c=a·c+b·c. 若a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)，则向量的数量积可以用向量的坐标来表示： 由于i，j，k是互相垂直的基本单位向量，因此 于是可得 由此可得知两个非零向量a，b垂直的充分必要条件的坐标表达式: 特别地，当a=b时，有 注意到a·b=|a||b|cos(a,b)，可知当a，b都是非零向量时，它们间夹角的方向余弦可以由坐标表达式表示为 例1 证明 证 (a+b)·(a–b) 例2 已知a=(3,0,–1)，b=(–2,–1,3)，求a·b，(a,b). 由于 且 解 例3 设a=2i+xj–k，b=3i–j+2k，且a⊥b，求x. 解 由于a⊥b ，可知必有 即 2·3+x·(–1)+(–1)·2=0. 整理得方程–x+4=0，解方程得 x=4.