向量的乘法运算.pptVIP

如果正交向量组中。每个向量还是单位向量 量则称其为标准正交向量组或正交规范向 量组。如它们还是向量空间的基底则分别称 其为正交基或标准（规范）正交基。即正交 规范组（基）满足 * 启示 1.实例 两向量作这样的运算, 结果是一个数量. 一、两向量的数量积 §7-4 向量的乘法运算 结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积. 2.数量积的定义 定义1 关于数量积的说明： 证 证 点积符合下列运算规律： （1）交换律： （2）分配律： （3）若 为数： 若 、 为数： 已知基本单位向量 是三个相互垂直的单位向量，则 数量积的坐标表达式 3.数量积的坐标表达式 设 则 两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为 解 例1 解 例2 例3 证明：因为 1.定义2 二、两向量的向量积 几何意义： 证 // // 2.关于向量积的说明： // 3.向量积的运算规律: （1）反交换律： （2）分配律： （3）若 为数： 由此可知:向量积的运算与多项式的运算规律一样,但需特别注意交换律不成立，而反交换律成立. 解 例3 设 向量积的坐标表达式 4.向量积的坐标表达式 向量积还可用三阶行列式表示 二阶行列式的定义: 记法: 例4 解 由已知知: 由公式得: 解 例5 另解: 设所求的向量为 或 解 三角形ABC的面积为 例6 ★向量的数量积 ★向量的向量积 （结果是一个数量） （结果是一个向量） 小结 几何意义： // // 向量的 线性运算 向量的 表示法 向量积 数量积 向量的积 向量概念 作业P166. 1, 2, 3 二次型 二次型化标准型 一.向量的内积与施密特正交化过程 引言：在几何空间，我们学过向量的长 两向量夹角的概念，并由此定义两向量 的数量积 利用坐标分别有下面计算公式：设 ， ， （设 则 设 为了今后应用的需要，将这些概念 及公式推广到n维向量。 1. 向量的内积 定义1 n维向量空间 中任两个向量 的内积定义为 并称定义了内积的向量空间为欧氏空间 内积具有下列性质： （交换性）; k为数（性质(2)，(3)称单线性） （ 当且仅当 。 以上证明留给读者。 定义2 设 ， 称向量 的长度。长度为1的向量称单位向量。 ，即为一单位向量。称将 单位化。 设 向量的长度有下列性质： 。 当且仅当 ； (2).齐次性： ； (3).三角不等式： 以上性质证明留给读者。 证略。 (1).非负性： (4).柯西不等式： 由柯西不等式得： 由此可定义两非零向量的夹角： ； 或 对于两非零向量 当 时，称两向量正交。这里显然等价于 又零向量与任何向量看作是正交的，且 中只要有一个为零向量，必有 因此可利用内积定义两向量正交。 称 正交，记 。 定义3 若 因此可利用内积定义两向量正交。 。 定义4 设向量组 为两两正交的非零向量， 称其为正交向量组。 *