郭健从古典几何到现代几何.ppt

二、解析几何 17世纪前半叶，科学技术对数学提出了新的要求，引起了三门全新的数学科学的发展，它们是：解析几何、微分法和积分法（包括简单的微分方程）。 第23页，共44页，2022年，5月20日，10点57分，星期六 二、解析几何 法国数学家笛卡尔（R.Descartes1596-1650）于1637年发表长篇著作《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》，该书三个附录之一《几何学》阐述了他的坐标几何的思想，标志着解析几何的诞生。 第24页，共44页，2022年，5月20日，10点57分，星期六 二、解析几何 恩格斯评价：“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了数学，微分和积分也立刻成为必要的了”（《自然辩证法》）。 第25页，共44页，2022年，5月20日，10点57分，星期六 1.笛卡尔的两个基本观念 （1）坐标观念： 其作用是把欧氏平面上的点与一对有序的实数对应起来。 第26页，共44页，2022年，5月20日，10点57分，星期六 1.笛卡尔的两个基本观念 （2）将带两个未知数的方程和平面上的曲线相对比的观念： 例如二元方程 ，这种通常有无穷多组解的所谓“不定方程”对代数学家来说是索然无趣的，但笛卡尔注意到当x连续地改变时，方程相应确定的y，于是两个变量x,y可以看作是平面上运动着的点的坐标，于是这样的点组成一条平面曲线。 第27页，共44页，2022年，5月20日，10点57分，星期六 1.笛卡尔的两个基本观念 以上两个观念概括来讲，就是用代数方法去解决几何问题，这就是解析几何的基本思想。 第28页，共44页，2022年，5月20日，10点57分，星期六 2.空间解析几何 1731年，法国人克雷洛（Clairant 1713-1765）出版了《关于双重曲率的曲线的研究》一书。这是一个最早的空间解析几何著作，同时也研究了微分几何学。 第29页，共44页，2022年，5月20日，10点57分，星期六 在空间建立坐标系，可以把点与有序三实数组建立对应。从而，可用方程 F（x,y,z）=0表示曲面，用方程组 表示空间的曲线。 主要研究二次曲面，如：椭球面、双曲面、抛物面及二次柱面等 2.空间解析几何 第30页，共44页，2022年，5月20日，10点57分，星期六 三、微分几何 在解析几何的基础上，如果要研究更复杂的图形，这些图形可能对应比较复杂的代数方程，甚至不能用代数方程来表示，这时需要借助微积分作为工具，由此产生了微分几何。 第31页，共44页，2022年，5月20日，10点57分，星期六 第1页，共44页，2022年，5月20日，10点57分，星期六 前言 几何学源远流长，文献丰富。 在长达数千年的人类历史长河中，几何史就是数学史、科学史、人类文明史的一个缩影，从中可以看到人类社会前进的足迹。 第2页，共44页，2022年，5月20日，10点57分，星期六 前言 几何学特色鲜明，多彩多姿。 从古希腊时代起，就形成了一套科学的研究方法，严密的逻辑体系。两千多年来，无论是思想观念的更新，亦是科学理论的创立，几何学都扮演了开路先锋的角色。 第3页，共44页，2022年，5月20日，10点57分，星期六 前言 几何学应用广泛，无处不在。 从现代文明的成果看，无论是火箭、卫星的研制发射，还是人类生存空间的保护和改善，无一不用到几何的知识；再从推动科学的进步看，几何学的空间直观引起的直觉思维，构造几何模型产生的结构观念，追求严密逻辑走出的公理化道路，无一不渗透到数学乃至科学的各个领域。 第4页，共44页，2022年，5月20日，10点57分，星期六 古典几何泛指第一流的几何学家及其相应的几何著作，包括：欧氏几何、射影几何、解析几何、非欧几何等多个方面。 现代几何主要是指微分几何，它是由高斯、黎曼等人所奠基，再由加当、陈省身等人发扬光大。 前言 第5页，共44页，2022年，5月20日，10点57分，星期六 一、欧氏几何和欧氏空间 欧几里得（Euclid,公元前330—公元前275）的《几何原本》使几何学真正成为一门科学。 几何，英文为“Geometry”，是由希腊文演变而来的，其原意为“土地测量”。我国明代徐光启翻译《几何原本》时，将“Geometry”一词译为“几何学”，就是从其音译而来。 第6页，共44页，2022