2022秋九年级数学上册 第23章 图形的相似集训课堂 练素养 1巧用位似解三角形中的内接多边形问题课件（新版）华东师大版.pptx

第23章 图形的相似集训课堂练素养　　1．巧用位似解三角形中的内 接多边形问题习题链接温馨提示：点击进入讲评答 案 呈 现3421如图，用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形，阅读后证明相应问题．画法：①在△AOB内画等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上；②连结OE并延长，交AB于点E′，过点E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，作E′D′∥ED，交OB于点D′；③连结C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形．求证：△C′D′E′是等边三角形．1∵E′C′∥EC，E′D′∥ED，∴∠OEC＝∠OE′C′，∠OED＝∠OE′D′，∴∠OEC＋∠OED＝∠OE′C′＋∠OE′D′，即∠CED＝∠C′E′D′.∴△CDE∽△C′D′E′.又∵△CDE是等边三角形，∴△C′D′E′是等边三角形．2如图，求作：内接于已知△ABC的矩形DEFG，使它的边EF在BC上，顶点D，G分别在AB，AC上，并且有DE：EF＝1：2.解：如图，在AB边上任取一点D′，过点D′作D′E′⊥BC于点E′，在BC上截取E′F′，使E′F′＝2D′E′，过点F′作F′G′⊥BC，过点D′作D′G′∥BC交F′G′于点G′，作射线BG′交AC于点G，过点G作GF∥G′F′，DG∥D′G′，GF交BC于点F，DG交AB于点D，过点D作DE∥D′E′交BC于点E，则四边形DEFG为△ABC的内接矩形，且DE:EF＝1:2.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是多少？3现有一块直角三角形木板，它的两条直角边BC，AC分别为3 m和4 m，要把它加工成面积最大的正方形桌面，甲、乙二人的加工方法分别如图①和图②所示，请运用所学知识说明谁的加工方法符合要求．4证明：∵E′C′∥EC，∴∠C′E′O＝∠CEO.又∵∠COE＝∠C′OE′，∴△OCE∽△OC′E′.∴＝.又∵E′D′∥ED，∴∠D′E′O＝∠DEO.又∵∠DOE＝∠D′OE′，∴△DOE∽△D′OE′.∴＝.∴＝.解：设符合要求的正方形PQMN的边PN与△ABC的高AD相交于点E，易知AE为△APN的边PN上的高．设正方形PQMN的边长为x mm，∵PN∥BC，∴∠APN＝∠B，∠ANP＝∠C.∴△APN∽△ABC.∴＝，即＝.解得x＝48，即这个正方形零件的边长是48 mm.解：设甲加工的桌面边长为x m.∵FD∥BC，∴Rt△AFD∽Rt△ACB.∴＝，即＝，解得x＝.设乙加工的桌面边长为y m，如图，过点C作CM⊥AB，垂足为M，CM交GF于点N，在Rt△ABC中，BC＝3 m，AC＝4 m，∴AB＝＝5(m)．∵AC·BC＝CM·AB，∴CM＝＝ m.∵GF∥AB，∴△GCF∽△ACB.∴＝，即＝，解得y＝.∵＞，∴x＞y，x2＞y2.∴甲的加工面积最大，符合要求．